А. А. Самарский, А. В. Гулин

2 I 
Ь0 | L
для решения уравнения
(3) 
справедлива оценка
где
|
г
пК
max |z,-| + М2 V х | фй|, 
п = m, m
+ 1, . . . , (36)
M ^ W Q U Q - Ъ
=
Cl = MlVL,
0 = ^ - 2 (1‘
\bk\
+ M
\b0
a:
о 
k=i
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно формуле конечных приращений 
Лагранжа имеем
f
( 
^n—
hi Уп —
 h) 
f {.in —
ft) 
Ип—
ь)
C—
й,
где
ln—
h
/и 
{tn—к) Un
—
ft) 
i Un—h
//n—
ft 4~ 02-т,—
hi
0 -C; 0 -C~ 1, & = 0, 1,2, 
Представим функцию ф
„-m,
определенную согласно (5), в виде
ф
п—т
—
Ь0102п
 
^
b fjn ^ ft^ n — k '
k=i
Подставляя (37) в уравнение (3), получим
т
(а
0— 
Ьа10%)
г „ = 2 (— 
ak
+
xbkln. k)
+ тф„_т .
k — \
Из условия (35) следует, что
к - л м ; ^ >0’
(37)
(38)
(39)
поэтому уравнение (38) можно разрешить относительно 
z n:
„ 
v\ 
ak'5C 
k
,
| ^
= 2 ------------— ------
Z n- k
+ T -
A=l
a0 
tb0l0
Q
q
— T&o^O
(40)
Добавляя к правой части уравнения (40) и вычитая из нее выра­
жение
т
2
4 7
Zfl-ky
а0
245

---

перепишем (40) в виде
а 
1 
-л
2п —
— 
2
—
Zfl~k
“Ь т 
2
Vnk2n-k
+ т — ——
—
. 
а ,
ао - tv »
где
V ak
aob^n-kr~ аМ>
а„ (ао
— т&0/0)
(41)
(42)
Представим уравнение (41) в векторной форме. Для 
дем векторы
Zn (^п-т+1, 2
n—m-i-2t
• • • , ^n) ,
Yn- ! = fo, . . . . 0, 
%~m
4 
flo — TO
q
'O
этого
вве-
и матрицы
~o 
.. . 0 "
г 0
1
0
0 -1
, s =
0
0
0
1
0 
.. . 0
am
V i
am -
 2
____ £r_
У
r un
' 
*
L 
an
«0
aQ
a0 
J
Тогда получим, что уравнение (41) эквивалентно векторному урав­
нению
Z n 
= SZ,_i + 
T V n_ iZ n_ 1 + T Y „ _ t. 
(4 3 )
Для оценки решения уравнения (43) используем лемму 1 из п. 3. 
Согласно этой лемме, ||S||,=^1 в некоторой норме || - 1|.. Поэтому из 
(43) получим
l!ZJ,<||Z„_1||, 
+ T||Vn_1!!.l|Zn_1H. + Tll1F„_1||.. 
(44)
Покажем, что ||У„_,||, ограничена числом, не зависящим от 
п
и 
т. Согласно (39), (42) имеем
\vnk
| < 2 -
I 
ао
11 
bk
1 + | 
ak
1 | 
b0
1 , 2 , . . . ,
m,
поэтому
m
I 
Vn
- 1 lie = 2 1 
v«b
I ^
vL>
k=\
где
о 
m
V
= — 2 ( K l I
1 + M | ь0j). 
(45)
Q0 fe=l
Для любого вектора 
x
имеем
|| V _ 1*||. = ||QVn_1x||c= || (QVn-.Q-1) (Q*) ||c<
< IIQ V n_
1
Q-,||cllQJc||c< ^ .IIV n-
1
||c|i*||.t
246

---

где Mi = ||Q||c||Q_1|lc. Следовательно,
lll'»-ll|.^ A ll||l'n_l||c< A l10L.
Подставляя эту оценку в (44), приходим к неравенству
H 2 J . < ( l + TC1)||Z t_1||. 
+
T||4f4- i||.l 
(46)
где & = m, т + 1, . . . , c ^ M ^ L .  Из (46) получим
j|2n|l.^ ( l + T Cir m||Zm. 1I. + т 2
k —m
<
ес‘‘™
 I! 
I. + т 2 II 
II., (47)
k —m
где 
tn- m= x{n — m ) ^ T .
Далее, учитывая (24), (39), имеем
II 
Znl >
 («
ОТ1
 Нс)"11 Z„ ||c > (1
QT
1 lie)"11 zn I,
I 
Zm_! 
1. ^ |i 
Q
||c I 
Zm_! 
||c = IQ lie max | 
г,-
1,
I! 
Q
1U 
2 II 
Q
|U
1 *A-i II. ^ II
Q
 lc 1 Ъ -г ||c = -— —
7 7 7
1 tu n I 
I ^
 I •
I 
aa — Jb0l0 \
I a0 I
Подставляя эти неравенства в (47) и обозначая A^HIQIIcX
2
XlIQ-'lic, 
Мг= М 1-
— - , получим оценку 
I «о I
п—т
la n K /H ie^ 7 шах | 
z,
| +
М2
V т | ф* |,
совпадающую с (36). Теорема 2 доказана.
С л е д с т в и е .
Если
О ^ и т ^ Г , 
выполнено условие корней
, 
|
Zj
| —
>-0 
при
т-»-0, /= 0 , 1, . . . ,
т
—1, 
и разностное уравнение
(2)
аппроксимирует исходное уравнение
(1), 
то решение разностной за­
дачи
(2) 
сходится при
т-vO 
к решению исходной задачи
(1).
Доказательство следует немедленно из оценки (36), если учесть, 
что
п —т
У
I т | ф * | < 7 шах | ф*|-
и 
o^h^n-m
§ 5. Численное интегрирование жестких систем
обыкновенных дифференциальных уравнений
1. 
Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные ме­
тоды. Для задачи Коши
= f ( t , u ), / > 0, 
и (0) = и0 
(1)
at
247

---

будем рассматривать разностные методы вида
т ak 
т
2
•
—
Уп-к 
=
2
bkf
 
*/«-*). 
п =
т < т  
+ 1
. ■ • • 
(2)
*=О 
А= О
В § 4 показано, что устойчивость и сходимость метода определя­
ются расположением корней характеристического уравнения
т
2
 
a kq'n-* =
0
. 
(3 )
k=0
А именно, требуется, чтобы все корни удовлетворяли условию | 
q \
^
=^1, причем корни 
q,
для которых |^ | = 1, не должны быть крат­
ными.
Эти условия устойчивости являются очень общими и не могут 
учесть многие характерные свойства решений исходной дифферен­
циальной задачи (1) и аппроксимирующего ее разностного метода
(2). Они означают лишь, что все решения однородного разностно­
го уравнения, соответствующего (2), остаются ограниченными при 
п—
»-оо.
В частности, при таком подходе коэффициенты 
bh,k =
0, 1, . .. , m, 
входящие в правую часть уравнения (2), никак не влияют на устой­
чивость.
Предположим, однако, что заранее известна та или иная харак­
терная особенность в поведении решения исходной дифференциаль­
ной задачи. Тогда естественно требовать, чтобы эта особенность со­
хранялась и у решения разностного уравнения. Такое требование 
приведет к сужению класса допустимых разностных методов. В на­
стоящем параграфе будут рассмотрены методы, предназначенные 
для расчета асимптотически устойчивых решений уравнения (1). 
Рассмотрим сначала характерный пример. Уравнение
~
 — Xu, t
> 0, 
и
(0) = н0, 
(4)
at
где Я<0, имеет решение
u(t) = и аеи ,
монотонно убывающее при 
t-*-oo.
При любых т > 0 для решения это­
го уравнения справедливо неравенство
\ u ( t + x ) \ ^ \ u ( t ) \ ,
(5)
означающее устойчивость решения 
u(t).
Естественно требовать, чтобы и для решения разностной задачи, 
аппроксимирующей (4), выполнялось бы неравенство, аналогичное
(5). Рассмотрим с этой точки зрения метод Эйлера
^
—
= Ц п ,
п =
0 , 1 , . . .
(6)
т
Из уравнения (6) получаем
yn+i=qyn, q=
1+тЯ.
248

---

Оценка вида (5), т. е. неравенство
I 
Уп+i
| 
| 
уп
| » м = 1, 2, . ..
( 7 )
для метода (Ь) будет выполнено тогда и только тогда, когда 
^
^ 1 . В случае Я<0 это условие эквивалентно следующему ограни­
чению на шаг т:
Таким образом, разностный метод (6) устойчив в смысле выпол­
нения оценки (7), если шаг т удовлетворяет неравенству (8).
Разностный метод (2) называется 
абсолютно устойчивым,
если 
он устойчив при любых т> 0 , и 
условно устойчивым,
если он устой­
чив при некоторых ограничениях на шаг т. Мы видели, что метод 
Эйлера (6) условно устойчив при условии (8). Примером абсолютно 
устойчивого метода для уравнения (4) с Я<0 является 
неявный ме­
тод Эйлера
для которого 
\ q\
= | (1—тХ)~‘| <1 при любых т> 0.
Приведенные здесь простые примеры характерны тем, что и для 
более общих асимптотически устойчивых систем дифференциаль­
ных уравнений явные разностные методы являются условно устой­
чивыми, а среди неявных методов существуют абсолютно устойчи­
вые методы.
Условная устойчивость является недостатком явного метода, так 
как вынуждает брать слишком мелкий шаг т. Например, если 
% =
= —200, то условие (8) выполнено при т^ 0 ,0 1 , и для того чтобы 
вычислить решение «(/) при / = 1, надо сделать сто шагов по методу 
Эйлера. Неявный метод лишен этого недостатка, однако его приме­
нение к задаче (1) приводит к необходимости решения на каждом 
шаге системы алгебраических уравнений, в общем случае нелиней­
ной.
2. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений.
Многие из рассмотренных в § 1—4 численных методов интегрирова­
ния обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся без 
изменений на системы дифференциальных уравнений. Однако в 
случае численного решения систем уравнений могут появиться до­
полнительные трудности, связанные с разномасштабностью процес­
сов, описываемых данной системой.
Поясним характер возникающих трудностей на примере систе­
мы, состоящей из двух независимых уравнений
0
(
8
)
— 
fi-Упы,
1