А. А. Самарский, А. В. Гулин

У п ~  —
Уп-т 
Уп—т
+ 1
а0 
Яо
п = т, т+
1,
а1
I 
Т£п-т
Уп~
1 “1 
у
я0 
До
(28)
исходя из заданных начальных условий 
у0, у и
. . ., 
y m - i
и известной 
правой части 
qk.
В предыдущем пункте получена оценка решения однородного 
уравнения через начальные данные, означающая устойчивость по 
начальным данным. Получим теперь аналогичную оценку решения 
неоднородного уравнения (27) через начальные данные и правую 
часть.
Основным результатом здесь будет доказательство того, что 
если однородное уравнение
(8) 
устойчиво по начальным данным,
то для неоднородного уравнения
(27) 
справедлива оценка
п—т
\Уп\<
-иа шах 
| г/, ] +
Мг
V т |
gk
|, 
(29)
k—Q
где 
Mi
и 
Мг
не зависят от 
п.
Выполнение оценки (29) означает по определению устойчивость 
уравнения (27) по правой части. Таким образом, будет показано,
243

---

что из устойчивости по начальным данным следует 
по правой части.
Представим уравнение (27) в векторном виде
устойчивость
Е« = 5У„_1 + т:(7п-1,
п = т, т+
1, . .. ,
(30)
ГД6 
У п~
(i/n—
m+i, 
У л—
m+lj * • * 
1
 Уп) j
Gn
~i — (О, 0, ..
о, 
8п~т )
,
йо /
(31)
матрица S определена согласно (20).
Пусть уравнение (8) устойчиво по начальным данным. Тогда 
согласно теореме 1 выполнено условие корней. При этом условии 
в соответствии с леммой 1 для некоторой нормы матрицы 5 спра­
ведливо неравенство ||5 ||,^ 1 . Таким образом, из (30) получаем не­
равенства
I
I
I
I
• + т||G ^ li,, 
k = m, т+
1, . . .
Суммируя эти неравенства по 
k
от 
т
до 
п,
получим
\Yn