А. А. Самарский, А. В. Гулин

циентами. Устойчивость по начальным данным. 
Задача Коши для 
уравнения (8) состоит в отыскании сеточной функции 
vn,
удовле­
творяющей при всех 
п ^ т
уравнению (8) и принимающей при 
п =
= 0, 1, . . . , m—1 заданные начальные значения у0, и,........щ,.,.
В дальнейшем будем считать, что 
а0фО.
Тогда уравнение (8) 
можно разрешить относительно 
v„:
,, 
a'n' i
ы 
_
___
Un
—
--------
и п - т
------------------ U rt-m -n — • . . — -------
1
*
«о 
ао 
ао
Отсюда следует, что при 
а0фО
решение задачи Коши сущест­
вует и единственно.
Говорят, что уравнение (8) 
устойчиво по начальным данным,
если существует постоянная 
М,,
не зависящая от 
п
и такая, что 
при любых начальных данных 
v0, vu
. . . , um_, для его решения вы­
полняется оценка
max 
\vj\, 
n — m ,m -\-
1, . . . 
(18)
Тем самым устойчивость означает равномерную по 
п
ограни­
ченность решения задачи Коши.
Оказывается, что устойчивость или неустойчивость уравнения
(8) по начальным данным целиком определяется расположением 
корней характеристического уравнения (9).
Будем говорить, что выполнено 
условие корней,
если все корни 
<
7
,, . . . ,
qm
характеристического уравнения (9) лежат внутри или
240

---

на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на 
границе единичного круга нет кратных корней. Справедлива
Т е о р е м а 1. 
Условие корней необходимо и достаточно для
устойчивости уравнения
(8) 
по начальным данным.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала необходимость. Пусть 
уравнение (8) имеет корень 
q,
для которого | ^ | > 1 . Задавая в 
качестве начальных данных функции 
Vj—q1, j =
0, 1, . . . .
m
—1, по­
лучим решение 
vn = qn, n ^ .m ,
неограниченно возрастающее при 
п
—>-оо. Для такого решения невозможна оценка вида (18) с кон­
стантой 
М и
не зависящей от 
п.
Следовательно, условие |(?й| ^ 1 ,
k=
1, 2, . . . .
m,
необходимо для устойчивости.
Пусть уравнение (9) имеет корень 
q
кратности 
т>
1, для кото­
рого 
\q\
= 1. Тогда разностное уравнение (8) имеет решение 
nr~lqn,
растущее при 
п
—
>-оо как 
пг~'у
и, следовательно, в этом случае оцен­
ка (18) также невозможна.
Прежде чем переходить к доказательству достаточности усло­
вий теоремы 1, необходимо провести некоторые вспомогательные 
построения.
Запишем (8) в виде эквивалентной системы уравнений
—
V n -m +
1
> ■ • • >
Vn
- 1
— 
Vn - i ,
a tn
a m
-1
a i
V n
II
1
C
2
a 1
Vn—m-ri
. .
---------
-v ,
Oo
a 0
и представим эту систему в векторной форме
l/n= S V n_1, 
п=пг,
т + 1 , . . . , 
(19)
где 
Vn 
{vn