А. А. Самарский, А. В. Гулин

kx
)1
 u«> 
(tn)
l\
p / tn
+ 2 2 ^
/=1 
\k=0
+
( -
kx
)1- 1
 
a ( t n)
( l -
 
1
) !
+
О
(
t p
).
После очевидных преобразований приходим к разложению 
♦ « =
— ^ 2
+
+ 2
f s
( - «
“
h
T
+
M
) - ^
r + 0 w -
(б)
l=l\k=0
 
' 
J
'
Отсюда видно, что погрешность аппроксимации имеет порядок р, 
если выполнены условия
т
S«fc = 0, 
(7)
ft=Q
т
^
kU (kak + tbk) =
 0, 
l
 = 1, 2____ p. 
(8)
fe=o
Вместе с условием нормировки (3) уравнения (7), (8) образу­
ют систему из р+2 линейных алгебраических уравнений относи­
232

---

тельно 2( m+l ) неизвестных
dot di,
■
• • , ^mi 
Ьц, Ь ,, • • • t Ьт.
Можно несколько упростить эту систему. А именно, рассмотрим 
уравнение (8) при 1=1,
т
т
2
b.dk
+ у
b k = о
k=o 
k=o
и учтем условие нормировки (3). Тогда получим уравнение
т
^ /гаА = — 1.
k=0
Окончательно получаем систему уравнений
т
^ k a k = —
1, 
(9>
к=1
т
2
k‘-1 (kak + lbk) = 0, 
1 = 2,3 , . . .
1
р,
Ь=1
которая содержит 
р
уравнений и 
2т
неизвестных 
аи а2,
. . . ,
ат,
Ьи Ьг,
. . ., 
Ьт.
Коэффициенты 
а„
и 
Ьа
вычисляются по формулам
т
т
а0 = —
2 а*. Ьо = 1 — 
0 ° )
k=i 
k=i
Для того чтобы система (9) не была переопределена, необхо­
димо потребовать, чтобы 
р ^.2 т .
Это требование означает, что 
порядок аппроксимации линейных т-шаговых разностных мето­
дов не может превосходить 2т.
Итак, наивысший достижимый порядок аппроксимации неяв­
ных m-шаговых методов равен 
2т,
а явных — 
2т
— 1.
Заметим, что если в системе (8) отбросить последние 
п
урав­
нений, 
п=
1, 2, . . . ,
р
— 1, то получим условия, обеспечивающие по­
рядок аппроксимации 
р
—
п.
Для методов Адамса (4) условия р-го порядка аппроксимации 
(9) принимают вид
т
т
kl~ % =
1, 
1 = 2,3 ,
. . . .
р, 
Ь0 = 1 ~ 2 Ь м .
(И)
A=i 
fe=l
Отсюда видно, что 
наивысший порядок аппроксимации т-ша-
гового метода Адамса равен m +
1, 
а наивысший порядок аппрок­
симаций явного метода Адамса (Ь0=
0) 
равен т.
3. 
Устойчивость и сходимость разностных методов. Оказыва­
ется, что методы наивысшего порядка аппроксимации практиче­
ски непригодны для расчетов, так как они неустойчивы. Подробно 
вопросы устойчивости и сходимости разностных методов будут
233

---

рассмотрены в следующем параграфе, а сейчас ограничимся изло­
жением самых необходимых сведений.
Рассмотрим наряду с (2) однородное разностное уравнение
а0ип+ а 1уп-
1
+ . • • + a ma„_m = 0, 
п = т, т +
1, . . . .
(12)
и будем искать решения уравнения (12), имеющие вид 
un = qn,
где 
q
— число, подлежащее определению. Тогда для нахождения 
q
получаем уравнение
a0qm+alqm~'+ 
... + a m_,p+am = 0, 
(13)
которое называется 
характеристическим уравнением разностного
метода
(2).
Говорят, что метод (2) удовлетворяет 
условию корней,
если 
все корни 
qu q2, . . . , qm
характеристического уравнения (13) лежат 
внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, 
причем на границе единичного круга нет кратных корней. Разно­
стный метод (2), удовлетворяющий условию корней, называют 
устойчивым методом.
Существует определенное ограничение на 
порядок аппроксимации устойчивого метода. Приведем без дока­
зательства следующее утверждение.
Пусть метод
(2) 
удовлетворяет условию корней и имеет поря­
док аппроксимации р. Тогда р ^ п г+ 1 при пг нечетном и
р ^ ш + 2
при m четном. Д ля явных m-шаговых устойчивых методов порядок
аппроксимации не превосходит т.
В § 4 будет доказана следующая теорема о связи между устой­
чивостью и сходимостью разностного метода (2) (см. теорему 2 
из § 4).
Пусть метод
(2) 
удовлетворяет условию корней и \fu(t, и) \ ^ . L
при 0^t-
малых
т 
выполнена оценка