А. А. Самарский, А. В. Гулин

, 
0 4 6 4 3
, сг
3
из (44), (4 6 ), (48) и приводя
подобные члены, получим уравнение а
2
(
1
—<
2 4
) =
0
, из которого следует, что 
а4=  
1
.
Таким образом, при 6=^=0 система (38) — (41) имеет следующее двухпарамет­
рическое семейство решений:
1
 
2
о
3
— 
1
@
А ~~~
1 I 
С? - 11 
|
1 2
fl
2
(as - f l , ) ( l - f l 1)
_____ — 1________
° 3
 
1 2
о
3
 
(а
3
 — а2) 
(1
— а3)
6
й
2^
з
— 4оо — 4^3 —
}- 3
° 4 =
1 2 ( 1
— Оо) 
(1
— а3) 
’
4 Оу— о
2
 — 5п
3
 
2
642 = — ------------------------ ’
24а4а2 (а3 — а2) (•— 
аз)
1 — 2а2
^43 =
Г 
•
1 2
о
4
о
3 
(а
3
 — а2)
641
 = I -- 
642
 -- 
643
,
631
=
02
— 
6
з-
2
,
621
- о2,
Oj = 1 — о2 — О3 — о4.
Здесь, как уж е отмечалось, о
3
¥=0, а
4
^=0, т. е. а
2
=т^0,5, 
6
а
2
а
3
— 4а
2
—4а
3
Ч - 3 # 0 .
Приведенное выше решение справедливо при 6=^=0, т. е. когда параметры а2, 
0 3 , 0 4
удовлетворяют условиям
а ( Ф 0, i = 2 , 3, 4, агф а г, агф а 4, а3ф а 4.
Рассмотрим систему (38) — (41) при 
тех 
значениях параметров о2, о3, о4,
когда 
6
 = 0. При о2= 0 система не имеет решения вследствие (41). При о3= 0
система (40) принимает вид
( 0 3 6 3 2
 +
0 4 6 4 2
) а
2
 =
+ ° А » ) “а = "{г ’ 
(49)
1
a4a«a4bi2
— 
»
О
откуда следует, что 
"Г
и
и
а
3632
+
04642
- —
О
(50)
228

---

Далее, система (39) при 
а
2
 = — , а3= 0 принимает вид
4
0а + 2<
т
4
я
4
 = 1, 
0а + 4о
4
а
4
= — , 
а
2
 +
8
а
4
а
4
= 2
1
и имеет единственное решение
а4 = 1 , Oj - 
:
04 = '
Подставляя эти значения а4, а2, а
4
и 
0 2
 = — в уравнения (49), (50), получаем
А
1
*42 — „ I 
*in =
Кроме того, из (41) имеем
* 4 3
1 *
1
24а46з202
1 2
о
3 
= 6а3.
Таким образом, система (38) имеет следующее семейство решений, завися­
щее от параметра сг
3
^=
0
:
1
а 3 = 0 ,
0 2 =
2 ’
0 4 =
2
1
0 2 =
0 4 = —
3
6
*32 =
1
3
12а3
» 
&42
_ 2 ’
*41 =
1
_
2 ‘
— 6 а 3 |
*31 1 
-
1
1 2
о , ' ’ 
Ьа
1
=
2
’ 
0 1
=
6
_ ° Э-
Точно так ж е при условии 
а
2
= а
3
система (38) — (41) имеет решение
а2 — Оз — 
, 04 — 1,
0 2 =
— — 0 3 ,1 
0 4 —
3
6
1
^Э-2 =
6 а 3
*42 = 1 — З а 3 ,
*43 = З а 3 ,
и
0 ,
* 3 i
1
1
*21 =
1
1
Ст1=7
° 4 \ —
2
6 а 3 ’
“ 2 *
зависящее от параметра а
3
=
5
^
0
.
При а
2
= а
4
имеем решение
а2 — 04 — If «3 — „ I 02 — _ — 04 > 0з — „ I 
2
 
о 
о
1 
1 
1
0 3 2 —
_ . 
*42 — —
,
643 —
-
8 
6а4 
За4
1 
3
*41 — 1 — -
.
*31 = „ I 
*21 — U
6а4 
8
01 =
зависящее от параметра 
с^фО.
229

---

О п р е д е л и т е л ь б о б р а щ а е т с я в н у л ь е щ е в д в у х с л у ч а я х : п р и а 4 = 0 и 
a3=-at.
О к а з ы в а е т с я , ч т о в э т и х с л у ч а я х с и с т е м а ( 3 8 ) — ( 4 1 ) н е и м е е т р е ш е н и я . П у с т ь ,
н а п р и м е р , а
4
 = 0 . Т о г д а и з п е р в ы х д в у х у р а в н е н и й с и с т е м ы ( 3 9 ) п о л у ч и м
3 
а*
— 2 
2 — 3 
а,
0 > == 
, 
О
 з 
,
6
а2(а3 — а2) 
^
 
6
а3(а3 — а2)
П р и э т о м п о с л е д н е е у р а в н е н и е с и с т е м ы ( 3 9 ) п р и в о д и т к у с л о в и ю
6
д2^з—4д2—4а3+ 3 = 0. 
(51)
А н а л о г и ч н о н а х о д и м , ч т о с и с т е м а ( 4 0 ) , ( 4 1 ) р а з р е ш и м а о т н о с и т е л ь н о Ь32, & «,
bt
3
т о л ь к о п р и у с л о в и и
6
Д
2
Д
3 — 6
 й2—4а3+ 3 = 0. 
(52)
И з ( 5 1 ) , ( 5 2 ) н а х о д и м
а2—
0 , ч т о н е в о з м о ж н о в с и л у ( 4 1 ) . Т о ч н о т а к ж е д о ­
к а з ы в а е т с я , ч т о н е с у щ е с т в у е т р е ш е н и й с
аг—а4.
§ 3. Многошаговые разностные методы
1. Формулировка методов. 
Для решения задачи Коши
^ = / М ) . ^ > 0 . 
w(0) = uo 
(1)
at
введем сетку
(Щ={Д=«т, гс=0, 1, . . .}
с постоянным шагом т > 0 . Обозначим через 
yn = y (tn), f„ —
= f( tn, у„)
функции, определенные на сетке сот. 
Линейным т-шаго-
вым разностным методом
называется система разностных урав­
нений
аяУп
+
а1Уп-1
+ • • • +
атУ/1-п
■
— 
+ &
1
Д
- 1
+ . . ■
+
bmfn-
(
2
)
п = т, т +
1, . . . ,
где 
а,„ bh —
числовые коэффициенты, не зависящие от 
п, k = 0,
1, ... 
. . . ,
т,
причем 
а„Ф
0.
Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соот­
ношение, выражающее новое значение 
yn = y ( tn)
через найденные 
ранее значения 
уп- 2, . . . , уп- т.
Расчет начинается с 
п = т,
т. е. с уравнения
°о
Ут
+
а1Ут
- 1
+ • • • +
атУп
х
=
 
b
0
f m
+
b i / m
- i +
 
. . .
+
 
b j 0.
Отсюда видно, что для начала расчета необходимо задать 
т
на­
чальных значений 
у0, у и 
ym- t■
Значение 
у0
определяется исход­
ной задачей (1), а именно полагают 
у 0 = и0.
Величины 
у и у2, . . .
. . . , t/m_, можно вычислить, например, с помощью метода Рунге — 
Кутта. 
В 
дальнейш ем
будем предполагать, что начальные значе­
ния г/0, 
уи . . . , ym- t
заданы.
Из уравнения (2) видно, что в отличие от методов Рунге — 
Кутта многошаговые разностные методы допускают вычисление 
правых частей только в точках основной сетки cot.
230

---

Метод (2) называется 
явным
, если 
Ьа =
0, и, следовательно, ис­
комое значение 
уп
выражается явным образом через предыдущие 
значения 
у п- и
г/„_2, . . . ,
уп- т.
В противном случае (т. е. когда 
Ь,Ф
=ф0)
метод называется 
неявным.
Тогда для нахождения 
уп
прихо­
дится решать нелинейное уравнение
Уп 
b j (tn, Уп)
=
F [Уп
-!, 
Уп-
2
>
• ■ ■
» 
Уп-tn],
т
где
т 
а
F [Уп-lt У я—
2
,
. • 
Уп-т\ —
=
^
\bkfn-k 
Уп—
kj •
Обычно это уравнение решают методом Ньютона, выбирая на­
чальное приближение у(л0) равным z/„_(.
Заметим, что коэффициенты уравнения (2) определены с точ­
ностью до множителя. Чтобы устранить этот произвол, будем счи­
тать, что выполнено условие
2 ^
1 ’ 
(3)
4 = 0
означающее, что правая часть разностного уравнения (2) аппрок­
симирует правую часть дифференциального уравнения (1).
В практике вычислений наибольшее распространение получили 
методы Адамса, которые представляют собой частный случай мно­
гошаговых методов (2), когда производная 
u '(t)
аппроксимиру­
ется только по двум точкам, 
tn
и 
tn- lt
т. е.
а0 = —iii = 1, а*=0, 
k = 2,
3 , __
т.
Таким образом, 
методы Адамса
имеют вид
Уп-Уп-i 
£ и *
------------ = У 
bkfn-ь.
(4)
т
О
В случае 
Ь0 =
0 методы Адамса называются 
явными,
в случае 
Ь0ФО
— 
неявными.
При изучении разностных методов (2) мы рассмотрим прежде 
всего, как влияет выбор коэффициентов 
ак, bk
на погрешность ап­
проксимации, а затем исследуем тесно связанные между собой 
вопросы устойчивости и сходимости.
2. 
Погрешность аппроксимации многошаговых методов. 
По­
грешностью аппроксимации на решении
или 
невязкой разностного
метода
(2) называется функция
,п 
m
== — 2 v
u,i~k
+ 2 ^ (*«-*» Un-k
<5)
k
= О 
4 = 0
получающаяся в результате подстановки точного решения 
u(t)
дифференциальной задачи (1) в разностное уравнение (2).
231

---

Выясним вопрос о порядке погрешности аппроксимации при 
т->-0 в зависимости от выбора коэффициентов 
ak,b h, k =
0, 
т.
Будем предполагать при этом, что все рассматриваемые функции 
обладают необходимой гладкостью.
Разлагая функции 
un-h= u {tn
—
kx)
в точке 
t = tn
по формуле 
Тейлора, получим
Hfl—
k
Р
2
(~kx
)У/) (/„) 
л
+ о
f (tn-k, Un-k) = W ( tn — kx) =
P
- 1
(— 
kx
)1
 u{Ul) (tn)
/=0
11
0 ( x p), k =
1,2, . .. , 
m.
Подставляя эти разложения в выражение (5) для погрешности аш 
проксимации, будем иметь
kT)luil)(tn)
k—Q
 
\l=
О
l\
+
+ 2
bk
k=Q
£ ( ~ k x ) l u!l+^ ( t n)
1 = 0
l\
+ о 
(x p) =
J=0
“k
T
( -