А. А. Самарский, А. В. Гулин

(2 4 )
и 
iin = u(tn)
— р е ш е н и е и с х о д н о г о у р а в н е н и я (
1
) .
П р и м е н я я р а з л о ж е н и е п о ф о р м у л е Т е й л о р а д л я ф у н к ц и и д в у х п е р е м е н н ы х
и у ч и т ы в а я , ч т о
k\ = f(tn, ип),
п о л у ч и м
62
= / 4
02
- Д 4
&21
 Д / ц 4 у -
l°\fu
4
2a,b.Jfta
+
b l f f au]
4 0 ( 4 ) .
( 2 5 )
З д е с ь з н а ч е н и я ф у н к ц и и
f(t, и)
и е е ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х б е р у т с я п р и / = / „ ,
« = « п . Т о ч н о т а к ж е
63 = f
4
аз Д
4
(63161
4
63262) Д
4
Н—
7^
I
alftt
4
2
а
3
(
63161
+ - Ьззб,,) 
ftu
+ -
(b3Xkx
- +
63262)2
 
fua
 
1
4
О
(т 3) .
П о д с т а в л я я с ю д а
6l=/, б2 = / + а2Т((+б21Ди + 0(хг),
п о л у ч и м
63
=
f
 4
х Ш
1
4 (
631
4
632
) 
ffа\
4
lalfи
4
2
а з (6
3 1 4
 
6
32) 
ffta
4
4
( 6 3 1
4
6 3 2 )
2
 
} % u
4 2632
а Д
/ и
4 2 6 32
&
2
i /
Д ) 2] 4 О ( Д • 
(
2 6
)
Д а л е е , и з р а з л о ж е н и й ( 2 4 ) — ( 2 6 ) с л е д у е т
° i
6
'i 4
0262
 4
0363
= ( o i 4
02
 4
0
з) 
f
4
4
т
 [ ( о
2
а
2
4
0
за з) 
ft
4 (
02621
4
03
(
6 31
4
6
32) 
ffu\
4
Н 
1
(
02а2
4
0
3а\) ftt
+
2
Д а + л 4
0
з а з 
(631
4
6
32)) Д и 4
4 ((
i
6221 4
03
 
(631
4
6 ,1 2 ) 2 )
П и и
 
4
2
о
3
Ь
32
а
2
/ ( / и 4
2a3b32b2Xf
( / и) г ] 4 О ( Д )
• 
(2 7 )
224

---

Получим теперь разложение по степеням т разностного отношения (u n+ i—
—ц „ )/г , входящего в выражение для погрешности аппроксимации (23). При этом
учтем, что в силу уравнения (
1
) справедливы следующие соотношения:
u' = f, 
U"=*ft +ffu,
U," = ^ , + 2ff,t, + /a^ш + ^^+ /(^),. 
(28)
Тогда будем иметь
' = “я + 2 “я + е 
и" ^ °
=
= f + ^ V t + ffu)
+
Utt
+
Vftu
 +
Pfuu
 +
faft
+
f
 (/„)*] + О (+)•
Отсюда и из 
(2 7 ) 
получаем следующее разложение выражения для погреш­
ности аппроксимации 
( 2 3 ) :
^
11
= ( ^ +
0 2
+ а
3
-
1
) / +
+
5
J" ([2 (ога2 + Оз^з) — 1] 
f t
+ [2 (02621+03 (631 +
6
3a)) — 
1
] / /„ } +
"I 
{[3 (ооЦ^ + Ojd3) — 
1
J 
ftt +
[ 6
 (о-.а+л + о
3
а
3
(
6 31
 +
6
32)) — 
2
] 
f f tu +
+ [3 
+ а
3
( 6 3 1
+
6
32)2) — П
/ 2/ ии
+
+ (
6
а
36 3
.
2
а
2
 -
1
) 
f j t +
(6 0 3 6 3 3 6 2 1
 - !) 
f  (f u)2} + О ( + ) .
Приравнивая нулю коэффициенты при 
т\ / = О, I, 2, получаем условия треть­
его порядка аппроксимации:
Oi +
0 2
 + О
3
=
1
,
0 2
% + о
3
а
3
= O
2 6 2 1
 + о
3
(
6 31
 +
6
32) = 0 ,5,
ai
a2
 + о
3
а
3
= О
0
О
26 2 1
 +
а
3
а
3
 (
6 31
 +
6
32) =
0 2
б
31
+ а
3
 (
6
3] +
6 3
 .)s = — ,
О
03632<22
 = O
3632621
 — 
•
О
После проведения эквивалентных преобразований эту систему уравнений можно
записать в более простом виде:
1
 
2
,
1
 
0 2 а 2
 + о
3
а
3
— 
, 
0 3
а
2
 + а
3
а
3
=
,
а2 =
6 2 1
, 
а3 — 
6 31
 +
6 32
, 
Оз632а2 =
, 
(29)
о
о1—1—02—03, 03^=0,
Исключим с помощью (29) из выражений (22) коэффициенты 
b tj. Тогда получим
метод
*1 = / (<„. Уя). 
= / (/„ + а2т, !/л + “aX*i),
/ 
т (6, — &,) \
*3 = / ^ я + аэТ, 
Уп + O&h +
---- 1 , 
(30)
^Я+1
=
0 1& 1
 + о
2 6 2
 + о
36
3, 
Oi =
1
— 
0 2
 — 
0
;ь
g 
А. А Самарский, 
А .
В. Гулин
225

---

который имеет третий порядок аппроксимации при условиях
о
2
я
2
 +
• °
2а 2
 "Ь 
а*а1 ~  
• °з 
Ф  0, До ф  0. 
(31)
Таким образом, в общем случае существует двухпараметрическое семейство
трехэтапных методов Р у н ге— Кутта, имеющих третий порядок аппроксимации.
Задавая 
а
2
и а
3
в качестве свободных параметров, получим из (31)
а2 =
\_
3
Д2 (аэ — 
Ф)
о3 =
3
2

°s (аз — ° 2)
(32)
Кроме того, система (31) имеет два однопараметрических семейства реше­
ний, определяемых условиями
Й
2
2
= а
3
=
з ,
3
о
2
+ а
3
= —-
, 
а
3
 
Ф  
0 ,
4
(33)
2
I
’
с?
II
О
3
о
2
= — , 
о3ф 0
 
л ю б о е .
4
(34)
1
Например, полагая а
2
 = — , а з = 1 , получим из (30), (32) следующий метод
третьего 
порядка 
аппроксимации:
К = f (*п> Уп)< 
k* = f ( t n + - , y n + - kij ,
h  = / ( / „ + "с, У„— т ^ + г т А а ) , 
(35)
Уп
+1
 
Уп 
1
 
. 
. . .
. . .
-------------- = ~Г 
(&1
 + 4йо +
кг).
т 
6
4. Методы четвертого порядка точности. Рассмотрим теперь четырехэтапный
метод
* 1
— /
Уп) • 
ka = f ( t n + а
2
х, у п + bjiTfei),
k3 = f (ln + пзТ, уп + b3it*i + 632т*2).
(36)
кк — f (*п “Н а4т > Уп + k
4
ll k l + bi2ikn ~f- bwiks),
*/nt-i = */n+T((Tift| +
2
fe
2
 + (T3fei + (Tifti),
Погрешность аппроксимации метода (36) равна по определению
Ф„ * = —
~ 
+ O ikj + о2к2 + а3*3 
o4k4, 
(37)
где функции 
k{, 1 = 1 , 2, 3, 4, получаются из (36) путем замены у„ на точное ре­
шение 
U n = U ( f n ) .
Чтобы построить схемы четвертого порядка аппроксимации, необходимо раз­
ложить функции, входящие в (37), по формуле Тейлора до величин третьего по­
рядка по т включительно 
и 
приравнять нулю коэффициенты при степенях т п,
п = 0, 1, 2, 3. Необходимо при этом учесть соотношения (28) и аналогичное вы­
ражение для ul v . Опуская выкладки, приведем систему уравнений, которой дол ж ­
ны удовлетворять коэффициенты метода (36) для того, чтобы данный метод
226

---

им ел четвертый порядок аппроксимации:
<Д + Ог + °з + 04 = 1.
(38)
b-
2
i = о,, 
Ьзх +
6 32
 — 
а^, bn +
* 42
 -f- 
*43
=
0
4>
<
t
2^2
 +
о 3а3
 
а4о4 — ^ >
о,а\
 + а3а:; + а4а* = у , 
(39)
а 2а* + а аа* + а4а* = у ;
(оз&зг +
0 46
1г) а
2
+ о
4
Ь
43
а
3
= — ,
о
(а
3 6 3 2
 + а
4
Ь42) 
а\ + <т
4
&
43
а | = ^ , 
(40)
а 3Ьз2а2а3
 -f- о4*42о2а4 -|- а4й43з 3а4 = — ;
О
04*43*з2а2 =
7Г. •
 
(41)
Система (38) — (41) состоит из одиннадцати уравнений и содержит тринад­
цать неизвестных. Выберем в качестве независимых параметров неизвестные 
а
2 
и 
а
3
и выразим остальные величины через эти неизвестные.
Для этого сначала разрешим группу уравнений (39) относительно перемен­
ных <т2, cr-j. сг4. Определитель б этой системы
6
= а
2
а
3
а
4
 (а
3
—а2) (а
4
— (а
4
—а3) . 
(42)
Это означает, что мы не рассматриваем значения параметров а2, а3, 
at, удовлет­
воряющие хотя бы одному из условий
02=0, 
а3=0, 
а4=0, 
а2= а 3, 
а2= о 4, 
а3= а 4.
Заметим сразу ж е, что 
а
2
ф 0, ст
4
=И=0 согласно (41).
Предположим, что 8=4=0. Случай 
6
 = 0 будет рассмотрен позже.
При 
8
ф 0 система (39) имеет следующее решение:
_
6
а
3
а
4
 — 4 ^ — 
4 0 4
 + 3
* 
12а2(а3 —о2)(а4 —а2)
6а2а4 — 402 — 4а4 ~f- 3
12о3 (а3 — а2) (о4 — а3) * 
6о2о3 — 4
д
2 — 4о3 -f- 3
12
а
4
(а
4
— а2) (а4 — 
03
)
Точно так же, решая систему (40), получим
4а
4
 — 3
офзз
=
<74*42 =
0 4* 4 3 =
, 24oa (о
4
 — о3) ’
__
2 ( 1
— 
2
аа) (а
4
 — аз) — (3 — 4йз) (а
3
 — а2)
24 (о
3
 — оа) (о
4
 — 
а3) а
2
1
— 
2
а
2 
1 2
(а
3
 — а,) 
а
3
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
8*
227

---

Учтем теперь соотношение (41). П реж де всего заметим, что 
С з¥= 0.
 
Действи­
тельно, при о 3= 0 из (44) и (46) получаем
3
о4 = — , 
о2 = О,
4
но в силу (41) имеем 
а
2
ФО. Таким образом, уравнение (41) эквивалентно урав­
нению
(
0 3 6 3 2
) (о А з ) а
2
— 
2 4
‘
Подставляя сюда выражения для 
0 3 6 3 2