А. А. Самарский, А. В. Гулин

\ У п —
и((п) \ ^ М (
max 
\yi 
—
u (tj)\+
max 
| ф * | ) ,
Г 
(14)
где
— 
погрешность аппроксимации,
г/j—н(^), /= 0 , 1, . . . , т —1 — 
погрешности в задании начальных условий и М — константа, зави­
сящая от L, Т и не зависящая от п.
Из оценки (14) следует, что если начальные погрешности 
ys
—
u(tj),
/ = 0, 1, . . . , m—1, и погрешность аппроксимации xpft, 
k =
= 0, 
1, 
. . . ,
n—m,
являются величинами 
0 ( х р), р > 0, 
то и 
yn—u (tn) = 0 ( хр)
при 
п ^ п г ,
т. е. метод сходится и имеет 
р
-й поря­
док точности.
Таким образом, исследование сходимости метода (2) сводится 
к анализу погрешности аппроксимации и проверке условия корней.
Заметим, что методы Адамса
и
— 
и 
m
п 
п~1 = У bkf(tn_k, yn_k)
Х 
k=o
всегда удовлетворяют условию корней, так как для них а0 = — 
at =
= 1, т. е. 
<7
=
9
,= !.
234

---

Простым примером метода, не удовлетворяющего условию кор 
ней, является явный двухшаговый метод
Уп
“Ь
^Уп-1 
^Уп
- 2 
п
- 1 ~ Т /
п-г
6т 
3 
*
имеющий третий порядок аппроксимации.
4. 
Примеры многошаговых разностных методов. Наивысший 
порядок аппроксимации явных m-шаговых методов Адамса
—
- - - —
= ^i / n- i 4" 
b2fn-2
 
+ . . . +
bmfn-m
 
(15)
равен 
m.
 
Согласно (11) условия 
т-
го порядка аппроксимации 
имеют вид
т
2
^
 = 7 -
1 = 1 , 2
.........
т.
 
(16)
k—l
Решая систему (16), можно найти коэффициенты метода наивыс­
шего порядка (15), (16) при каждом конкретном 
т.