А. А. Самарский, А. В. Гулин

(4)
- ± = f(t,u),
/ > 0, 
и
(0) — 
ии.
a t
Введем по переменному 
t равномерную сетку с шагом
т > 0 , т. е. 
рассмотрим множество точек
Шт= 
{ t n 
= tix, п =
0, 1, 2, . . . }.
Будем обозначать через 
u(t)
точное решение задачи (4), а че­
рез 
y n = y ( t n)
— приближенное решение. Заметим, что приближен­
ное решение является 
сеточной функцией,
т. е. определено только 
в точках сетки шг.
П р и м е р 1. 
Метод Эйлера.
Уравнение (4) заменяется разност­
ным уравнением
■П¥1~ Уп
— 
f 
(t,i, 
уф =
0, я = 0, 1, 2, 
. .. , 
у 0 = и,.
(5)
т
Решение этого уравнения находится явным образом по рекур­
рентной формуле
у
п+1
= Уп+т/(
t n
, у„), п = 0, 1, . . . , у0 
— ий.
При использовании приближенных методов основным является 
вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода 
можно сформулировать по-разному. Применительно к разностным 
методам, к которым относится и метод Эйлера (5), наибольшее рас­
пространение получило понятие 
сходимости при
т—>-0. Оно означает 
следующее. Фиксируем точку 
t
и построим последовательность 
сеток шт таких, что т—>-0 и 
tn 
= m = 
t
(тогда необходимо 
п->-оо).
Го­
ворят, что 
метод
(5) 
сходится в точке t
, если 
\уп
—
при 
т^О, 
tn = t.
Метод 
сходится на
отрезке (0, 
Т\,
если он сходится в каждой 
точке 1<= (0, 
Т].
Говорят, что 
метод имеет р-й порядок точности,
если существует 
число 
р >
0 такое, что |
уп
—
u(tn)
| = 0
(%“)
при т—^0.
Получггм уравнение, которому удовлетворяет 
погрешность ме­
тода z„
=
уп
—
u(tn).
Подставляя 
y n 
= zn-\-un
в (5), получим
Znt-L ~~гп
Г,, 
| 
ч 
игч-1~ип
— / 
viii М
ц
“р 
%п) 
' 
•
(6)
т 
Т
Правую часть уравнения (6) можно представить в виде суммы 
где
.1
(!) 
Un + l 
Utl 
, г /, 
ч
'ри — ---------------- Ь 
f 
(tn, 
ип),
т
фг?’ =
f
(tn, 
Un 
+
гп) — f
(tn, 
Un).
Функция фгё1) называется 
невязкой
или 
погрешностью аппрок­
симации разностного уравнения
(5) 
на решении исходного урав­
нения
(4). Видно, что невязка представляет собой результат подста-
215

---

новки точного решения 
u = u(t)
в левую часть разностного уравне­
ния (5). Если бы приближенное решение 
уп
совпадало с точным 
u(tn),
то невязка равнялась бы нулю. Говорят, что 
разностный ме­
тод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение,
если 
при т-»-0. Разностный метод имеет 
р-й порядок аппрокси­
мации,
если г|)^ = 0 ( т р). В дальнейшем будет показано, что при 
очень общих предположениях порядок точности разностного мето­
да совпадает с порядком аппроксимации.
Функция
фп’=
f (In, ип + zn) — f (in, ип)
обращается в нуль, если правая часть 
f
не зависит от решения 
и.
В общем случае 
> пропорциональна погрешности zn, так как по 
формуле конечных приращений имеем
ty[n = ^ - ( t n , un + ten)Zn,
| 9 | < 1 .
ди
Порядок аппроксимации метода Эйлера (5) нетрудно найти, 
используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку
=
+
т ) ,
т
то в силу уравнения (4)
фя1> = — 
и’ (tn)
+ /
(tn, u„)
-f 0 (т) = 0 (т),
т. е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. При вы­
воде предполагалась ограниченность 
и" (t).
П р и м е р 2. 
Симметричная схема.
Уравнение (4) заменяется 
разностным уравнением
Уп
+, ~
Уп _ ± у
(/я> 
уп)
+
f {in+i> yn+i))
= Q> n = 0, 
i t
. . . , 
у0 = и0ш
(7) 
т 
2
Данный метод более сложен в реализации, чем метод Эйлера
(5), так как новое значение 
yn+i
определяется по найденному ра­
нее 
Уп
путем решения уравнения
Уп+
1 0Дт/(^п+1) 
Уп +
1) 
Fn,
где 
F„ = y„-
Г0,5т/(<п, 
уп).
По этой причине метод называется 
неяв­
ным.
Преимуществом метода (7) по сравнению с (5) является бо­
лее высокий порядок точности.
Для невязки
ФД =
-
+ ~ ( f ( U Уп)
+ /
(in, и УпЛ)
справедливо разложение
W