А. А. Самарский, А. В. Гулин

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ 
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Исходная задача и примеры численных методов ее решения
1. Постановка исходной задачи. 
Будем рассматривать задачу 
Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
=
t >
О, u(0) = u<°> 
(1)
at
или, подробнее,
=
fi if,
«1, «г, • • • , 
Um), t
> 0, 
i
= 1, 2, . . . , 
m,
(2) 
at
щ
(0) =
u f \ i —
1,2, . . . , 
m.
(3)
Хорошо известны условия, гарантирующие существование и 
единственность решения задачи Коши (см. [39, с. 49]). Предполо­
жим, что функции 
fu
 
t = l ,
2, 
. . . , 
т,
непрерывны по всем аргумен­
там в замкнутой области
D = { \ t \ ^ a ,
| 
ut
— ы10> | sg 
b, 
i =
1,2, . . . , 
т).
Из непрерывности функций 
следует их ограниченность, т. е. 
существование константы 
0 такой, что всюду в 
D
выполняются 
неравенства |Д| 
i=
1, 2, . . . , 
т.
Предположим, кроме того, что в 
D
функции 
удовлетворяют 
условию Липшица по аргументам 
и{, и2, 
. . . ,
ит,
т. е.
fi (t, Щ, U2, . . . , и'т)
— 
fi (t, Uu и2, 
, ит)
I ^
L
{| 
и[
— 
и[
I + I 
и2 — и,
I -f . . . + I 
ит— ит
|}
для любых точек (/, 
ии
. . . , 
ит)
и 
(t, ии и2,
. . . , 
ит)
области 
D.
Если выполнены сформулированные выше предположения, то 
существует единственное решение
ui = u l (t), u2 = u2(t),
. . . , 
um= u m(t)
системы (2), определенное при |/ | ^ / 0 = min(a, 
b/М)
и принимаю­
щее при ^ = 0 заданные начальные значения (3).
При исследовании численных методов для задачи Коши будем 
заранее предполагать, что ее решение существует, единственно и 
обладает необходимыми свойствами гладкости.
2. Примеры численных методов. Существуют две группы чис­
ленных методов решения задачи Коши: многошаговые разностные 
методы и методы Рунге — Кутта. Приведем примеры и поясним ос­
новные понятия, возникающие при использовании численных мето­
дов. Для простоты изложения будем рассматривать сейчас одно
214

---

уравнение