А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 2. Методы Рунге — Кутта
1. 
Общая формулировка методов. Семейство методов второго
порядка. 
По-прежнему рассматриваем задачу Коши для одного 
уравнения
^ = f(t,u), i
> 0, 
и
(0) = ы0. 
(1)
at
Явный m-этапный метод Рунге —Кутта
состоит в следующем. 
Пусть решение 
yn = y{t u)
уже известно. Задаются числовые коэф­
фициенты 
а„ b,
j, 
1
= 2, 3, . . . ,
m, \ =
1, 2, . . . .
т
— 1, о„ £=1, 2, ...
. . . ,
т,
и последовательно вычисляются функции
ki
= / 
(tn, Уп),
/?2
= / 
(tn + а2Т, у,г
+
Ь21
Т&,),
К =
/ 
(tn
+
а3х, уп
+
b3]Tkt
+
b32
т/е,),
К.
= / 
(tn + а„
Д, 
Уп +bm]%kl
+
bnl2lk 2
+ . . . +
b.n^xkm-i).
Затем из формулы
^Яг1~ - =
Oikt
(2)
Т
I —
1
находится новое значение i/n+1 = i/(£n+1).
Коэффициенты 
аи b,h
сн выбираются из соображений точности. 
Например, для того чтобы уравнение (2) аппроксимировало исход-
/П
мое уравнение (1), необходимо потребовать 
Отметим,
1=1
что методы Рунге — Кутта при 
т
> 5 не используются.
Остановимся более подробно на отдельных методах. При 
т =
= 1 получаем схему Эйлера, рассмотренную в примере 1 из пре­
дыдущего параграфа. При т = 2 получаем семейство методов
k, = f(t„, ул), kz = f ( t n+a2
т, 
уп+Ь21
т/г,),
//„-и 
=yn + l ( o 1k,+Olk2).
(
3
)
Исследуем погрешность аппроксимации методов (3) в зависи­
мости от выбора параметров. Исключая из последнего уравнения
218

---

—
^--—
==■■ 
o j (tn, Уп)
+ 
Ozf (tn
4~ 
a.2X, Уп
4" ^21 
Tf (tn, Уп))-
(4)
T
По определению погрешностью аппроксимации или невязкой 
метода (3) называется выражение
фпг) = — — ----
- + Gif
(-«. 
“г)
+
o j (tn
+
a2x, ua
4- 
b2J (tn, un)),
(5)
T
функции 
k,
и 
k2,
получаем
полученное заменой в (4) приближенного решения 
у п
точным ре­
шением 
un = u(tn).
Найдем порядок погрешности аппроксимации в предположении 
достаточной гладкости решения 
u(t)
и функции 
f(t, и).
Для этого 
разложим все величины, входящие в выражение (5), по формуле 
Тейлора в точке 
tn.
Имеем
-n- l ~ Un = и’ (tn)
4 -
1 и
(tn)
4- 
О
(т2),
т 
2
f (tn
+
а.2х, tin
+
b2lrfn) = f n + a2x
+
b2lxfn 
+ О
(т2),
dt 
да
где 
f„ = f ( t n, un),
получим
— — — (tn, un).
Далее, согласно уравнению (1),
ди 
да
,, 
d f
. 
d f
, 
d f
, 
d f t
u — —
H
— - u
= — + — /• 
d t
d a
d t
d u
Поэтому
Ф„f = — 
u’n
4- (ay + cr2) 
fn
4-
+
t
dfn
(a2b2l
— 0,5) 
f n ^ - +
(оая2
да
- ° , 5)^ ] 4 -0 (т 2).
(6)
Отсюда видно, что методы (3) имеют первый порядок аппрок­
симации, если Oi4-a2= 1.
Если же дополнительно потребовать 
o2a2 = o2b
2
i
= 0,5, то полу­
чим методы второго порядка аппроксимации. Таким образом, име­
ется однопараметрическое семейство двухэтапных методов Рунге — 
Кутта второго порядка аппроксимации. Это семейство методов 
можно записать в виде
— — — = (1 
— о) f (tn, Уп)
+
of (tn
+
ах, у„.
+
axf (tn, уп)), 
(7)
х
где ста = 0,5.
В частности, при о= 1, а = 0,5 получаем метод, рассмотренный 
в примере 3 предыдущего параграфа. При с = 0,5, 
а —
1 получаем 
другой метод второго порядка:
ki = f(tn, У г), k2 = f (t n+ х, уп + xk,),
yn+i = y,+Q,5x(kl+k2).
219

---

Двухэтапных методов третьего порядка аппроксимации не суще­
ствует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть уравне­
ние 
и' = и.
Для него двухэтапный метод Рунге —Кутта (7) прини­
мает вид
---------- = (14- 
хаа) уп
и погрешность аппроксимации равна
г^1’ = --- —— — 4- (1 4- 
таа) ип.
т
Разлагая 
по формуле Тейлора и учитывая, что 
и"'
=
и'' = и' =
=
и,
получим
= т 
(аа
— 0,5) 
и
— —
и (1„
4- 9т), 
0 ^ 0 < 1.
6
Отсюда видно, что наивысший достижимый порядок аппроксима­
ции равен двум.
Приведем примеры методов Рунге — Кутта более высокого по­
рядка аппроксимации.
Метод третьего порядка:
K = f ( t n, y n), k2 = f ( t n +
j
, Уп +
,
К = f(tn
4- т, 
уп
—- т/4 4- 
2xk
2), 
Метод третьего порядка:
У п и — Уп
= ± ( k l + 4 k 2 + k3).
О
\kx
k i = f {tn, 
Уп), 
k2 
=
f ^ n +
— 
, y n -
з
+
Уп + Щ , УП+1 ~ - = j - ( k l + 3k3).
 
\ 
3 
3 1 
т 
4
Метод четвертого порядка:
Xkj
h = f (t n,y,i), k2 = f [t n + — , уп .
 
2
: / 
(tn
4- 
j , yn
4- 
— 'j, k4 = f (tn
4- 
t
, 
yn
4- 
тк3),
Уп¥у~ [,п
= - i
(ky
+
?.k2
4
- 
2
k3
+
k,).
т 
6
Метод четвертого порядка:
^1 
—
/ (^n, */n)> ^2 
— - /
4~ 
— , 
Уп 
4
------
1
h = f ( t n A - - , y«.-\-
 
,
fe4 
= f(tn +
T, (/„ 4- xfe4 — 
2xk2
4- 
2xk3),
y.^ - y« = ± {kl + 4k 3 + k4)
 
x
6
220

---

Приведенные здесь методы являются частными случаями методов 
Рунге — Кутта третьего и четвертого порядков, рассмотренных по­
дробнее в пп. 3 и 4.
2. Доказательство сходимости. Докажем, что методы Рунге — 
Кутта сходятся и порядок их точности совпадает с порядком ап­
проксимации.
Выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность 
z n =
= уп
—
u(tn).
Основное уравнение метода Рунге—Кутта имеет вид
К (y) = f(tn,yn).
Подставим в левую часть уравнения (8) вместо г/, выражения 
ul+zl
при 
l = n, п +
1, а в правой части этого уравнения добавим и 
вычтем сумму
т
t—
i
К
(
и
) = / 
(fn, Un).
Тогда уравнение (8) примет вид
■2n" ~ Zn- = № + '№,
где
т,
(
10
)
(П)
(
12
)
есть по определению погрешность аппроксимации метода (8), (9) 
на решении исходной задачи (1) (невязка) и
пг
(13)
i=l
Будем рассматривать (11) как уравнение для погрешности ме­
тода. Оно выполняется для 
п =
0, 1, ... Поскольку начальные зна­
чения г/0 задаются точно, 
у 0 = и(
0), величина 
z0
равна нулю. Будем 
считать, что задача (1) решается на ограниченном отрезке вре­
мени 0

и, следовательно, при любых п и т выполняется не­
равенство 
tn = m ^ .T .
221

---

Предположим, что в рассматриваемой области изменения пе­
ременных (1, 
и)
функция /(/, 
и)
удовлетворяет условию Липшица 
по 
и
с константой L, не зависящей от 
t.
При этих предположениях 
оценим сначала функцию фф2’, а затем и решение 
2
„+1 уравнения
( И ) .
Из выражений (9), (10), используя условие Липшица, получим 
I 
h (У)
— 
h (и)
| ^
L 
уп — ип
| + ^ т I 
ьц
I I 
k i (У) — ki
(“) l^j .
1=2, 3, . . . .
т,
|
kl { y ) - k l (u)
| 
г ^ Ь \у л- и п\.
Обозначим
п
 = | 
ki 
(у)
— 
Mu) 
I, 
г = 1, 2, . . . .
т,
Ь =
шах 
|bii
|, 
g = L \ y n — un \.
(14)
Тогда согласно предыдущему неравенству будем иметь 
t
-1
n < L b '2 } Tri -\-g, i — 2, 3,
. . ., 
m, 
rt s ^g,
f=l
или, что то же самое,
i
r - u r x ^ L b ^ x r j + g,
1 = 0, 1, .. ,,m —1, 
r„ = 0. 
(15)
;=o
Л е м м а 1. 
Из неравенств
(15) 
при Lbx
> 0 
следуют оценки
П < p‘-1g, 
1 = 1, 2, . . . ,
т,
(16)
где
р=
l + Lbr.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Оценка (16) при 1=1 совпадает с оцен­
кой (15) для 1 = 0. Пусть неравенство (16) выполнено для 1 = 
= 1, 2, . . . ,
k.
Покажем, что оно выполнено и для ! = /г+1. Из (15) 
при 
i = k
получим
k
r k + L ^ L b ^ Tr,- + g.
/ —L
Согласно предположению индукции имеем
/= 1 , 2,
следовательно,
run
<
{bin
2 р'-2 + 1 j
g = [ibx
+
l ) g = pkg,
что и требовалось.
222

---

Оценим теперь функцию ф())\ определенную согласно (13). 
Из (14), (16) следует неравенство
П
1 
Ш
I С I -< 2 1
и
1 
^ og
2 iJl“1 ^
аётРт~\
i--=
 1 
i^i
где 
а =
max |сь|, р=1+ 1Ь т, 
g — L \ z n\.
Итак, окончательно имеем следующую оценку для ф')Ф
|ф«’ 
\ ^ a L m ( l + Lbz)m-l \zn\.
 
(17)
Таким образом, при возрастании погрешности |z„| величина 
|фа2) I растет не быстрее первой степени погрешности.
Теперь уже несложно оценить погрешность £„ = //„—
u(tn).
Из 
уравнения (11) имеем
= г п
+ тф® + тф»),
откуда, учитывая (17), получаем неравенство
\гПп
| < ( 1 + ат) |г„ | + т | фф |, 
п = 0,
1 , . . . ,
(18)
где
а = а(т) =аЬт(\+ЬЬт)п~1.
(19)
Заметим, что 
a
(x)-^oLm при т->0. Если т ^ т а, то а ( т ) ^
^ o L m e Lhi,n-l)x°,
т. е. «(т) ограничена равномерно по т. В качест­
ве т0 с большим загрублепием можно взять 
Т.
Из неравенства (18) следует оценка
I гп+11 ^(1 + ост)'1+11 гч | + У т (1 +
а%)п~’
| ф'/> |, 
(20)
/=О
которую легко доказать по индукции.
Загрубляя оценку (20) и учитывая, что 
2
0 = 0, получим
| гл+1 К (я + 1) т (1 +
ил)п
шах | фф | < /Г1+1еа<'1 шах | ф9> |,
где /,,= /гт^У .
Таким образом,доказана
Т е о р е м а 1. 
Пусть правая часть уравнения
(1) 
f(t, и) удо­
влетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой
L. Пусть
ф'Ц — 
невязка метода Рунге — Кутта
(2), 
определенная
согласно
(12). 
Тогда для погрешности метода при пт^.Т справед­
лива оценка
| 
уп
— 
и (tn)
| ^
Т еаТ
шах \ф|, 
(21)
где
a = oLm
(1 -f 
Lb
%)m_1, 
ст — шах |о ;|, 
Ь =
шах 
\Ьц\.
2«0'<0п
223

---

С л е д с т в и е .
Если метод Рунге — Кутта аппроксимирует ис­
ходное уравнение, то он сходится при
т-»-0, 
причем порядок точно­
сти совпадает с порядком аппроксимации.
Доказательство этого утверждения сразу следует из оценки 
(21) и замечания о равномерной ограниченности а (т ).