А. А. Самарский, А. В. Гулин

Предположим, например, что матрицу 
А системы (11) можно привести пре­
образованием подобия 
Q - ‘AQ к диагональному виду. Тогда замена u = Qv пре­
образует систему (И ) в систему независимых уравнений
dv
dt
Q-UQv,
матрица которой имеет те же собственные числа, что и матрица 
А.
Сформулируем теперь определение жесткой системы уравнений. 
Рассмотрим сначала систему (11) с постоянной, т. е. не зависящей 
от 
t
матрицей 
А.
Система дифференциальных уравнений (11) с по­
стоянной матрицей 
А (т Х т )
называется 
жесткой,
если
1) 
ReXbCO, 
/г=1,2, 
. . . , п г
(т. е. система асимптотически устойчива по Ляпунову),
2) отношение
max | Re 
Xk \
s __ 
_______
m i n
[ R e X 4 |
1
велико.
Число 
s
называется 
числом жесткости
системы (11). Второе тре­
бование не указывает границу для s, начиная с которой система ста­
новится жесткой.
250

---

Если матрица 
А
зависит от 
t,
то 
Kk= l k(t), k = l,
2, . . . ,
т.
При 
каждом 
t
можно определить число жесткости
m a x | R e ) ^ ( / ) |
S(/)=SJ ^ 2 ------------ .
m i n | R e
).k (l)
|
В этом случае свойство жесткости может зависеть от длины отрез­
ка интегрирования. Система
— =
A (t) и
dt
•называется 
жесткой на интервале
(О, 
Т),
если Re2ift(?)<0, 
k = \,
2,. . . , 
m,
для всех / е (О, 
Т)
и число sup s (
t)
велико.
few,Г)
Так же, как и в случае системы (10), нетрудно прийти к следую­
щему выводу. Решение жесткой системы содержит как быстро убы­
вающие, так и медленно убывающие составляющие. Начиная с не­
которого 
t> 0
решение системы почти полностью определяется мед­
ленно убывающей составляющей. Однако при использовании яв­
ных разностных методов быстро убывающая составляющая отрица­
тельно влияет на устойчивость, что вынуждает брать шаг интегри­
рования т слишком мелким.
Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в примене­
нии неявных абсолютно устойчивых разностных методов. Например, 
систему (10) можно решать с помощью неявного метода Эйлера
ч"+1- и"
аги
*+1: = 0,
+ а2и ^
= 0 ,
который устойчив при всех т> 0. Поэтому шаг интегрирования т 
здесь можно выбирать, руководствуясь лишь соображениями точ­
ности, а не устойчивости.
3. 
Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Обоб­
щим понятие жесткости на случай нелинейной системы
=
t >
0, 
(12)
a t
где
u(t) = {ui(t), u2(t),
. . . .
um (i))T,
f (t
, a) = (fi 
{t, u),
. . . ,
fm (t, u))T.
Зафиксируем какое-либо решение 
v(t)
системы (12) и образуем 
разность 
z ( t ) = u ( t )
—
v(t)
между произвольным решением системы