А. А. Самарский, А. В. Гулин

5. Асимптотическая устойчивость. 
Проведение расчетов на со­
временных быстродействующих ЭВМ предъявляет к разностным 
схемам наряду с обычными требованиями аппроксимации, устойчи­
вости и сходимости ряд дополнительных требований. Эти требова­
ния сводятся к тому, что разностная схема должна хорошо модели­
ровать характерные свойства исходного дифференциального урав­
нения в условиях, когда шаги сетки остаются конечными. Так, при 
решении уравнений параболического типа на больших отрезках 
времени существенное значение имеет свойство асимптотической 
устойчивости разностной схемы. Поясним понятие асимптотической 
устойчивости на примере разностных схем для уравнения тепло­
проводности
ди 
д2и 
Л 
. 
, , 
, . Л
о < * < ; , ; > о ,
d t
дх2
и
(0, 
t ) = u
(
I
, 
t) ■
■
и (х,
0) 
=
U
q
(
х
) ,
Как известно, решение этой задачи можно записать в виде ряда
:0,
Os
t
> 0 , 
: 
х
sg /.
(33)
nkx e-4t
(34)
где 
Xk =
водной и
n2k2
и (x, t) = у ^ j-
^
ck
si- 
{
* 
k=l
собственные значения оператора второй произ-
Ck
- / ? ь
(х)
sin
nkx
dx
— коэффициенты Фурье функции 
иа(х).
С ростом 
t
гармоники
-ъ-ь1 ■ nkx
Uk
=
Сие
sin 
—j—
при 
k > \
затухают быстрее, чем первая гармоника, так что при 
больших значениях