|
( 4 6 )
1 + atX f1 > 1 —
^ О,
KN
-1
kih)
т. е.
1 + атХР > 0,
k = 1,
2, .
.. , N — 1.
Неравенство (46) эквивалентно выполнению двух неравенств:
<7i—^Л> 0 и ^! + (7
а
> 0. Согласно (40) имеем
?i —
Чк ■
■
> 0 ,
k = 2,
3,
,
N —
1.
(l + a T ^ H l + a t ^ )
Далее, <7i+<7i.= ( ^ - M
n
-
i
) + (?А—
qN- i ) ,
откуда, учитывая условие
(45), получим
Ql
+
Як
> <7* —
Q
n
—
i
—
следовательно,
(1 + <гЛ£>)(1+ «&$*)
<7i + <7k>°.
* = 1 , 2,
1.
Д,
Тем самым неравенство (46) выполнено. Из него следует, что
<7)>0. Неравенство ^ C l следует из (40), (41), (44). Лемма 1 до
казана.
Заметим, что для неотрицательных о условия (44) всегда выпол
нены.
С л е д с т в и е 1.
Если выполнены условия леммы
1,
то для ре
шения разностной задачи
(37)
справедлива оценка
№"11<р%°11,
(47)
где
1 — (1 — <т) т
%[h)
р==1 + ax>.f>
(48)
Доказательство следует немедленно из оценок (39), (45).
С л е д с т в и е 2.
Если выполнены условия леммы
1
и параметр
а не зависит от
т
и h, то схема с весами
(37)
асимптотически устой
чива.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно (38) достаточно показать, что
р* =
е"ы\
(49)
где 6 = 6
(h,
т)—>"Я2//2 при т-»-0,
h-*-
0. Переписывая равенство (49)
в виде
6 = — 1п - ,
(50)
т
р
330
получим из (48), что
6 = — In ■
т
1
Т Х < Л >
т ( 1 + а щ
+
О
(Pi) j <
(51)
1 + oxX^1
л
h
где р , = < > . 3 аметим, что
j(h)
_
_ 4 _ s j n 2
h
2
21
при
h—y-О
и
т
Х ^ -
у
О
при т->-0,
h-y-
0.
Поэтому из (51) получим
л“
~¥
6 =
х‘А>
+ oxX
+ 0(т)
и lim 6(/г, т ) = л 2//2, что и требовалось.
о
Не представляет труда
более подробно
выписать асимптотику величины
б
{h, т) при х-»-0. Имеем
б
(h, г) = - In — = Х<;,) - (a2 - (1 - а)2)
г
р
1
2
( Х ^ ) ) 2
+ (03+ ( 1 _ 0)3).
1 (xf’)»
-
( а * —
( 1 —
О ) 4 )
I (Я)4
. (О»+ (!_ „ )•)-
(Х<л,)‘
+
О
(х*),
откуда видно, в частности, что б (/г, т ) = X)ft)+ 0 ( x 2) при < j= 0,5.
Таким образом, неравенство (45) представляет собой условие
асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Его можно
переписать в виде неравенства
xX
1 + охХ),г)
тЯ#-1
1 + arxXj^
< 2 ,
(52)
где
X[h) = —
sin2
= — cos2
1
Л2
2l
’ ' 1
ft2
л
h
2
Г ’
Заметим, что из (52) и (44) следует неравенство
тХ(,1)
ta
N-
1
1 + охХ#^
< 2 ,
совпадающее с (17) и обеспечивающее устойчивость схемы (37) в
обычном смысле.
Из (52) получаем, что явная схема (о = 0 ) асимптотически
устойчива при условии т<0,5 /г2. Чисто неявная схема (о = 1 )
асимптотически устойчива при любых т и
h.
Симметричная схема-
(о= 0,5) асимптотически устойчива при условии
т < 2 / У O / v
-1
~ hillт.
( 5 3 )
Таким образом, симметричная схема, будучи абсолютно устойчи
вой в обычном смысле, является условно асимптотически устойчи
вой при условии (53).
Асимптотическая устойчивость разностной схемы тесно связана
с ее точностью. Нарушение асимптотической устойчивости приво
дит к потере точности схемы на больших временах. Так, в [32] по
казано, что если положить
х = т
т >
1,
то при больших
t
решение
y ( tn, х{)
симметричной разностной схе
мы имеет асимптотику
у (tn, хО
*
( - 1 ) 1'-1 sin
.
Сопоставляя с асимптотикой (35) решения исходной задачи, видим,
что решение полностью искажается.
Отметим, что в [32] предложена разностная схема для уравне
ния теплопроводности, обладающая безусловной асимптотической
устойчивостью и имеющая второй порядок точности, однако данная
схема не принадлежит семейству схем с весами (37).
§ 4. Решение разностного уравнения второго порядка
методом Фурье
Рассмотрим разностную схему
Ухх,1 = — ^>
t '= 1, 2, . . . , А — 1,
y0 = yN =
0
(1)
и построим ее решение в виде разложения по базису собственных
функций оператора
(А
у
)1
= -
у
-хЛ, i =
1, 2, . .. ,
N —
1,
hN = t, y0 = yN =
0. (2)
Оператор (2) подробно изучался в § 1, где было показано, что он
имеет полную ортонормированную систему собственных функций
Л = 1 , 2 , . . . ,
N — l,
t = 1, 2, .. . ,
N
—I.
Соответствующие собственные числа оператора
А
имеют вид
Xk =
nkh
2
1
Поэтому можно искать решение задачи (1) в виде
ЛГ-1
У!— У (xi)
= 2
СкУк
(*/)» / = 1 . 2 , . . . ,
N — \,
(3)
k=l
где
с
к— неизвестные пока коэффициенты.
332
Разложим правую часть уравнения (1) в сумму Фурье, т. е.
представим ее в виде
^
/ / = 2
А=1
где
N
- 1
h =
(/, Р
а
) = 2 Z/'f1* (*/)
h>
k =
1 • 2- • • • •
N
— 1.
(4)
l=i
Подставляя разложения (3), (4) в уравнение (1) при г = /, получим
N
- 1
«-1
2
с
*(
ра
(*))*,./ = — 2
(*/■),
А=1
А=1
откуда, учитывая соотношение (р*
(Х))хх
.{= — tapA (*/) и линейную
независимость функций jxfe(х), приходим к уравнениям
C k h = f k ,
k =
1, 2, . . . ,
N
— 1.
Отсюда находим значения коэффициентов Фурье функции
y(Xj):
ск = /
а
Д
а
, 6 = 1 , 2 , . . . , N — 1.
(5)
Таким образом, приходим к следующему алгоритму решения
разностной краевой задачи (1). Сначала по заданной правой части
fj
и известным собственным функциям рЛ*,) вычисляем по форму
лам (4) коэффициенты Фурье правой части. Затем по формулам
(5), пользуясь тем, что собственные числа известны в явном виде,
находим коэффициенты Фурье
ск
искомого решения
у { х ) .
И, нако
нец, вычисляя суммы (3), находим решение */(*,).
Подсчитаем число умножений и делений, необходимое для на
хождения указанным способом решения задачи (1). Для вычисле
ния
}к
при каждом
k
требуется
N
— 1 умножений, а вычисление всех
fh,
6 = 1 , 2, . . . ,
N
—1, требует
(N
—I ) 2 умножений. Следует под
черкнуть, что здесь и далее мы предполагаем все функции рД*,)
и числа
кк
уже вычисленными и хранящимися в памяти машины.
Вычисление коэффициентов с„ по формулам (5) требует
N
—1 де
лений. Вычисление
yt
при фиксированном / по формулам (3) тре
бует
N
— 1 умножений, а вычисление всех
yh
j =
1, 2,
. . . , N
—1 тре
бует (
N
— I ) 2 умножений. Таким образом, весь алгоритм осуществ
ляется за 2(7/—I ) 2 умножений и
N
—1 делений. Вспомним, что
уравнение (1) можно решить методом прогонки (см. п. 7 § 4 ч. I)
по формулам
=
0- !— , t ' = l , 2 , . . . ,
N —
1,
а± = 0,
2.
a t-
pi+i = a
i+l( ^ + h 2ft),
t = 1, 2, . . . ,
N—
1, ^ = 0 ,
У
i-- ®i+lj/i+l T
$i+u i = N
1,
N
2, . . . , 1,
Ун==0
всего за 2
(N
— 1) умножений и
N
—1 деление.
333
Следовательно, предложенный здесь метод Фурье неэкономичен,
он требует
0 ( N 2)
действий вместо
O(N)
действий в методе прогон
ки. Пользоваться таким методом для решения одномерных разност
ных краевых задач нецелесообразно. Однако данный метод в соче
тании с методом быстрого вычисления сумм вида (3) нашел
применение при решении двумерных разностных уравнений с посто
янными коэффициентами. Эти вопросы рассматриваются в следую
щих параграфах.
Do'stlaringiz bilan baham: |
