|
N—
1,
ya — y N= § .
(9)
Разностная задача (8) представляет собой аппроксимацию диф
ференциальной задачи
—
и" (х) = Х и ( х ) ,
0
<х<1,
и(0) = и ( 1 ) = 0 ,
(10)
решением которой являются собственные числа
и отвечающие им собственные функции
Uk
(
X
) = sin
~ ~
,
£ = 1 , 2 , . . .
Попытаемся поэтому искать собственные функции задачи (8) в
виде
nkx,
yk
( X i)
=
sin —— ,
X i
= ih,
£ = 1 , 2 , . . .
(11)
312
Гр аничпые условия
у0= у х = 0
при этом выполнены. Подставляя
(11) в уравнение (9), получим уравнение
.
nkiXi + h)
.
nk(x; — h)
.
nkxi
sin--------------- f- sin ------------- = (2 — /i‘A) sin------
или
.
nkX[
zikh
2 sin----- cos-----
/
/
n k x ,
: (2 —
h2X)
sin —
Отсюда видно, что функция (11) является собственной функ
цией оператора (6), если
2 cos — = 2 —
h2K
I
т. е.
Х = Хк
_4_
Л2
sin2
n k h
21
При
k = \, 2
........
N
— 1 получаем
N
— 1 различных действительных
собственных чисел
Xlt
и отвечающих им собственных функций. Итак,
решение задачи (8) имеет вид
n k h
21
n k x
•
yk
(Xi)
=
sin ——
X i= ih ,
i = 0 ,
1,
. . . ,
,V,
6 = 1 , 2 ........
N —
1,
hN
= l.
(
12
)
3.
Свойства собственных значений и собственных функций.
Спра
ведливы неравенства
О <1 ^1 <С ^2
• ‘С
^А+1
■ • • "‘С CV—
1 <С
~ 7 Т
•
h
2
Для минимального собственного числа A,t в и. 5 § 4 ч. I была
получена оценка снизу X,i^=6i>0 константой б1 = 9//2, не завися
щей от
/ г .
Переходя к изучению свойств собственных функций, введем в
пространстве
Н
(напомним, что
Н
— линейное пространство функ
ций, заданных на он и удовлетворяющих условию
у а = у„ =
0) ска
лярное произведение
М-1
(Я.
v)
= 2
yroik
i=i
и норму
м
-1
\ ’/.
К l
'
Оператор
А
второй разностной производной (6) является само
сопряженным в
Н
оператором, т. е.
(Ay, v) = (y, Av)
для всех
у,
с е Я . Это сразу следует из тождеств, называемых разност
ными формулами Грина (см. также (15) из § 3 гл. 1). Имеем по
IIЯII =
V
(Я.
У) =
313
определению
A '- i
N -
1
N - l
(Ay, v)
= — 23
y-x x Vih
= — 2
+ 2
y-X'pc =
i= l
1=1
i= l
W-i
w
TV
= 2 ^
“ 2 ^ .iW
{- i = S
Последнее равенство получено с учетом условия щ = у „ = 0 . Меняя
у
и у местами, получим
(Ли, #) = 2
vx,Px.ih = (v>
а у
)-
о 3)
i=i
Следствием самосопряженности оператора (6) является ортого
нальность его собственных функций, отвечающих различным соб
ственным числам. Действительно, пусть
Тогда
Аук
--
^кУкч АУт
^тУтч
hk~A~
(Аук, У rn)
^к(Укч Утп) ч (А у шч У к)
А.
,п(Утч У к)
и в силу самосопряженности имеем
О
(АУкч Ут)
( А у чп, Ук)
^m )
(Утч У к ) ‘
Отсюда и получим, что
(у,„, ук) =0,
если
%
.кФк,„.
Таким образом,
система собственных функций (12) образует ортогональный ба
зис в пространстве
Н.
З а м е ч а н и е . Поскольку все собственные числа
различны, то
условие
hk= £ \ m эквивалентно условию k=£m. Таким образом доказано, что сумма
nkxt
птхс
У s i n ------- s i n --------
h,
h.N = /,
l
l
i=i
обращается в нуль при
k=£m. Это замечание потребуется в § 2 при изучении
собственных функций пятпточечного разностного оператора Лапласа.
Вычислим квадрат нормы собственной функции
ук(х).
В случае
дифференциальной задачи (10) имеем
i
Н 2= f sir
0
Покажем, что и в разностном случае собственная функция
ук(х)
имеет ту же самую норму У//2. По определению имеем
,
nkx ,
I
s i r r ----
ах
= —
/
2
N
- 1
nkX;
I
у
II2~ 2
^ s*n2— - = 2
^ s*n:
nkx,
Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы
nkx.
sirr
- 7 "
2nkx,
COS
314
и у ч т е м т о ж д е с т в о
sin
2nk (*t- + 0 ,5 h)
l
— sin
2nk (xL-l -f- 0.5A)
l
„ .
nkh
2
sin---- cos
2nkxc
l
Тогда получим
hN
у
г = ---------------------
111
2
4 sin
{nkh II)
(Sl
2nk {хы + 0,5ft)
.
n kh '
Sin---------------------sin —
l
l
Таким образом, система собственных функций
М * ) = j / y s i n ^ y - ,
k = \ , 2 ,
N — \,
х = х и i = \ , 2 , . . . , N
—1,
h N = l ,
2
(14)
образует ортонормированный базис в пространстве Я.
4. Операторные неравенства.
Любой элемент г/е Я можно раз
ложить по базису, т. е. единственным образом представить в виде
суммы
N - 1
у(х)
= 2
скук{х),
х<=ык,
(15)
k~l
где
ск= {у,
p j — коэффициенты Фурье.
Из (15) и ортонормированности системы {р,;} следует тож
дество
II
У
II2
= {У,У)
= 2
с2.
/ ;= 1
Используя разложение (15), получим
N -
1
N -1
А у ( х ) =
^
c kA \ i k ( х )
= ^
с А ц У к ( у )
1
к -
1
Д-1
{Ау,
«/) = 2 с^ -
/г= 1
Из тождества (16) следуют важные неравенства
Я Л уН Х И у, г/Х Х Л г/1 1 2,
(16)
(17)
справедливые для любого г/еЯ . Учитывая доказанные выше оцен
ки для собственных чисел, получим из (17) неравенства
6Ы 1Х (Л1
л у
Х - ^ | | 1/||2,
6 = - i - .
(18)
ft2
I2
Из (18) следует в частности, что
{Ау, у
) > 0 для всех г/еЯ , г/=И=0.
Операторы, обладающие этим свойством, называются
положитель
ными операторами.
Неравенство Л > 0 будет означать, что
А
— по
ложительный оператор. В дальнейшем мы будем часто использо-
315
вать и другие операторные неравенства. Неравенство Л ^ О озна
чает, что
(Ау,
г/);^: 0 для всех t/ е Я . Для двух операторов
А я В
неравенство
А ^ В
означает, что
А
—
В ^
0. В этих обозначениях
свойство (18) можно записать в виде операторных неравенств
б £ ^ Л < —
Е,
h2
где
Е
— единичный оператор.
Рассмотрим теперь разностный оператор Л с переменными ко
эффициентами, определяемый формулами
(Ay)i =
—
(ay-)Xtt, 1 =
1,2, .. .,
N
— 1,
yQ
=
yN
= 0,
(19)
где 0 < c 1^ a i^ c 2. Покажем, что Л — самосопряженный и положи
тельный в
Н
оператор и получим оценки, аналогичные (18). Для
любых
у,
о е / / имеем
N — L
N - l
N—
1
(Ау, и) = —
^
(ау-^хл vih
= — 2
а‘*У*-М
+ 2
=
1 = 1
1 = 1
1 = 1
A'-i
/V
N
= 2
- S
= 2
1 = 1
1 = 2
1 = 1
Отсюда видно, что (Лу, и) = (у, А
у
)
и
N
(Ау, у) =
^
(20)
1= 1
Из тождества (20) получаем неравенства
N
N
C
l
2
У1лк
< (Л'Л .'/) <
с
2
2 //г.Л-
1 = 1
1 = 1
Согласно (13) имеем
{Ау, У) =
2
/ = 1
где
А
— оператор, определенный согласно (6).
Поэтому последние неравенства можно переписать в виде
с1(Ау, у)
(Ау, у)
^
с2(Ау, у)
или в виде операторных неравенств
с , Л ^ Л < с 2Л.
(21)
Два оператора, Л и Л, называются
энергетически эквивалентны
ми операторами,
если выполнены неравенства вида (21) с положи
тельными постоянными
си с г.
Название объясняется тем, что в
приложениях выражение
(Ау, у)
представляет собой энергию само
сопряженного положительного оператора
А.
Константы
си сг
на
316
зываются константами эквивалентности операторов
А
и Л. Норма
||у||А= У
(Ау, у)
называется
энергетической нормой,
порожденной
оператором
А.
Из (21) и (18) получаем неравенства
Cl6£ < Л < —
Е,
6 = — ,
1
я2
р
из которых следует, что спектр оператора (19) принадлежит отрез
ку [с,6, 4
c j h 2].
Свойства матричных неравенств, доказанные в п. 3 § 4 гл. 2
ч. II, остаются справедливыми и для операторных неравенств в ко
нечномерном пространстве Я со скалярным произведением, если
только заменить в соответствующих неравенствах транспонирован
ные матрицы
Ат, Вт
на сопряженные операторы
А
*,
В*.
В частности, если Л * = Л > 0, то существует квадратный корень
Л1/1 из оператора Л, который является самосопряженным положи
тельным оператором. Если
L
— обратимый оператор, то оператор
ные неравенства
Л^гВ,
L ' A L ^ L ’BL
эквивалентны. Если С* = С > 0 и
а,
£ — любые вещественные числа,
то эквивалентны неравенства
a C ^ f i E , a
Do'stlaringiz bilan baham: |
