А. А. Самарский, А. В. Гулин

=
0
.
В силу линейной независимости функций pft(x) отсюда следует ра- 
322

---

венство нулю выражений, стоящих в квадратных скобках, т. е.
■
C*(-W ~'Cg('n) +
ah C k
(/»«) + 
( 1
-
a ) l kc k 
( t n)
=%(/„), 
( 1 0 )
т
« = 0, 1, ... 
, /С
—1, 
£=1,2,
Уравнение (10) при каждом £ представляет собой разностное 
уравнение первого порядка относительно 
cin) = ck(tn) .
Чтобы выде­
лить единственное решение, надо задать начальное условие 
ск{
0) =
=
{Уй,
Р*) 
■
Из уравнения (10) получаем
C k ( t a + l ) =
Ц к С к
( t n )
+
■ 
/
ф
к
( t n ) ,
( И )
1 *т" ОТЛ,^
где
Йк =
1 - ( ! ~
о
)
т
£
а
1 +
аткк
(
12
)
Выражение, стоящее в знаменателе, положительно согласно (7). 
Учитывая (8) и (11), представим решение у"+1 задачи (2), (3) в 
виде
Л
' - 1  
k=l
ЧкРк 
( t n )
+
1 “I- от At
■ Ф *
( t n)
P fe
(Хс).
(13)
Обозначая
Л'-1
у Т х
=
2
qkCk
^ м *
k=\
N - i
i
k=i
+ OTkk
Ц>к 
( t n )
P *
( Xi ) ,
(14)
(15)
П-Ы 
"П+1 I 
~tl
+1
получим, что гд = г/£ + t / £ .
Оценим по отдельности нормы функций 
у
п+1 и 
yn+l.
Из (14) в 
силу ортонормированности базиса {pft} получаем
II
у
*+1 f = 2
(у?'1)2 h = 2 ql
(с* (^))2 
и,следовательно,
/N-1
2 (с* (*»))*
\k=i
Ум
шах |? * |= ||г /Г1|1 max 
\qk\.
L-SfegA’-l
Потребуем, чтобы выполнялось условие
|<7*|<1, 
k=\, 2, . . . , N- L
Нетрудно видеть, что (16) эквивалентно условию
U 
-----
тЯ
;V-i
(16)
( 1 7 )
и*
323

---

где 
Ky~l= —
cos2—---- наибольшее собственное значение операти-
h2 
2
/
ра (5). Условие (17) будет выполнено, если потребовать
о
\_
2
4 т
(
18
)
Заметим, что из (17) при любом 
k = \ ,
2, 
N
— 1 следует не­
равенство
1 + отЯ* 
> О,
т. е. неравенство (7).
Итак, если выполнено (18), то справедлива оценка
l l r +1ll^ llr ll.
09)
По существу, эта оценка означает устойчивость схемы (2), (3) по 
начальным данным. 
Действительно, 
если в уравнении 
(2) 
ф" = 0, то 
у"+1 = у1+1,
и из (19) получаем
11Г+11 К
\\Уп\\
SS 
\\Ул-'\\
^ • • < ]1'/°11,
что означает устойчивость схемы (2), (3) по начальным данным в 
норме
/ Л/ —1
\ %
1 1 / 1 = ( 2
ку2ч
• 
(20)
Таким образом, приходим к следующему выводу. 
Если пара­
метры схемы
(2), (3) 
связаны неравенством
(18), 
то схема устой­
чива по начальным данным и при любых уа^ Н для решения зада­
чи
(2), (3) 
с
ф? = 0
справедлива оценка
l l r +‘ll^lli/0ll, 
/1 = 0,1.....
К
-
1,
где норма
||у|| 
определена согласно
(20).
Заметим, что неравенство (18) совпадает с полученным в § 4 
гл. 1 необходимым условием устойчивости схемы (2), (3).
3. 
Устойчивость по правой части и сходимость. Чтобы оценить 
функцию 
yn+l
(см. (15)), усилим условие (18) и потребуем выпол­
нения неравенства
(1 — е) ла
4 т
(
21
)
1 
1 _ 
с
с постоянной е е ( 0 , 1). Тогда 
------------- , и при любом 
k =
2 
т Я .
= 1 , 2 , . . . ,
N
— 1 получим
1 + а т Я ^ ^ + 1 - - (1- Ё)^
2
> 1
1
(1 — Е) Яд/_1
= Е > 0 ,
324

---

т. е . 1 + о х Х к^ е > 0 .  И з р а з л о ж е н и я ( 1 5 ) п о л у ч а е м
N
- 1
N
- 1
II 
У'
Л+1 112
“
( 1 4 -
атХк)2
- (ф* (*я))2 < — 2 (Ф* (^я))*.
следовательно,
( 2 2 )
Если о^О , то условие (21) становится лишним, так как 
l + axXk^ l
и оценка (22) выполняется с е = 1. Из неравенства треугольника
||у"+1||^ ||у п+111 + ||у"+М
1
и оценок (19), (22) получаем неравенство
!1‘Г 11 < 1 И 1 + - «
ф
'! |, 
(23)
е
справедливое при 
п =
0, 1, . . . .
К
—1. Суммирование (23) по 
п
при­
водит к оценке
fljrM K IU fl + j i ; т||ф /|р 
(24)
/=0
которая означает устойчивость задачи (2), (3) по начальным дан­
ным и по правой части. Из оценки (24), учитывая условие т
п ^ .Т ,
получим
II 
1 ^ II 
У0
II + — max 1 ф'Ц. 
(25)
в
Итак, 
если выполнено условие
(21) 
с
e
g
( 0 ,
1), 
то схема
( 2 ) ,
( 3 )
устойчива по начальным данным и по правой части, причем для ее
решения справедлива оценка
(25). 
Если
о ^ О
и выполнено условие
(18), 
то справедлива оценка
(25) 
с
е = 1 .
Из оценки (25) и требования аппроксимации следует сходи­
мость схемы (2), (3). Для задачи (4) оценка (25) принимает вид
И
| | ^ - т а х ||^ ||. 
(26)
в
Следовательно, ||
2
П+ || имеет тот же порядок малости, что и по-
1 
h%
грешность аппроксимации. 
В частности, при о = о . = — — — , 
Ф
tn + y ,)
 
+
tn + y ,) +
о
(т2+ й 4) 
имеем ||фЧ1 = 0 ( т 2 + й4),
а условие устойчивости (21) выполнено с е = 2/3, поэтому ||2П+1Ц
=
= 0 ( т 2 + /г4), т. е. схема имеет второй порядок точности по т и чет­
вертый — по 
h.
Если о = 0 ,5 , 
ф ?
= f ( X i ,
tn+,/2
)
+
0
(
t
2 
+
/
i
2 ) ,
т о
 
условие 
устойчивости выполнено при любых т и 
h
и ||
2
п+1|| = 0 ( т 2 + й2). При 
остальных значениях о имеем ||
2
7,+1|| = 0 ( т + й2), если выполнено 
(21) с е е ( 0 , 1), или если а ^ ;0 и выполнено (18).
325

---

4. С хем а с весам и для двум ер н ого уравнения теп лопроводности.
Пусть область 
G
— прямоугольник {0
< х а<1а, а = 1 ,
2} 
с 
границей 
Г. В области 
Q = G x (
О, Г] рассмотрим первую краевую задачу 
для двумерного уравнения теплопроводности
ди
Щ
д2и
^ 
дги
дх\ 
дх\
(М< х2, /) PEE Q,
и
(х], л’
2
, 0) — 
U
q
 (ху, л'
2
), 
(Xi, ^
2
) Д 
G*
 
(27)
и
(xlt х2, 
i) =
0, 
(хь 
х2, t) <=:
Г х (0, 
Т
].
Оператор Лапласа аппроксимируем так же, как и в § 2, пятиточеч­
ным разностным оператором. Для этого введем сетку 
по про­
странственным переменным следующим образом:
Qn
=
{хц
= (х« х<'>) | xf> =
ihu x f
=
jh2,
i
= 0, 11 . . ., 
j
= 0, 1, . . ., Л^2, 
haNa,
=
lx, 
cl
= 1,2).
Множество точек сетки Q,„ принадлежащих Г, будем обозначать 
через 
а множество внутренних точек — через 
так что 
= cDf1|J'pI. Определим на 
Qh
разностный оператор
^УЧ 
y~XiXi.ii 
y~xiXt.il'
Уи=0, Хц<=Чн.
т ,
(28)
По переменной 
t
введем равномерную сетку
(ot =
{tn = nx, гг —
0, 1, . . . ,
К, Кт = Т}
и обозначим 
у^. = у(х'^, x j \ tn).
Дифференциальную задачу (27) 
аппроксимируем разностной схемой с весами 
ипУ1 — ф.
- 11 --
1'-
+
оАу’^
+ (1 - о) 
АЩ,
= 0 ,
< = 1 ,2 , . . . ,
Nj_~
1, 
/ = 1, 2, . . . . Л72 — 1, n = 0, 1, 
К — 1,
(29)
у0
и = и й
(х
хУУ),
 
X i / S Q h ,
i/^ = 0, Xi/6= 
yh,
/
1
= 1, 2, . .
К.
}
При а = 0 получаем явную схему, для которой решение 
у
J)+1 вы­
ражается явным образом через значения 
ylj.
Если о=^0, то схема 
неявная и для нахождения у"/1 требуется решить систему двумер­
ных разностных уравнений. Методы решения таких систем будут 
изложены в гл. 5, а один из методов рассматривается в § 6 настоя­
щей главы. Схема имеет второй порядок аппроксимации по 
h
и 
первый по т (за исключением случая о = 0,5, когда по т также вто­
рой порядок аппроксимации).
Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (29) по начальным 
данным. Исследование устойчивости проводится точно так же, как
326

---

и в одномерном случае с помощью метода разделения переменных. 
На самом деле даже нет необходимости повторять проделанные ра­
нее выкладки. Достаточно заметить, что основные результаты об 
устойчивости схемы (6) не зависели от конкретного вида операто­
ра 
А,
а использовали только следующие его свойства:
1) существование полной ортонормированной системы собствен­
ных функций,
2) положительность всех собственных чисел и знание верхней 
границы 
Хтах
спектра.
При этих условиях было доказано, что схема (6) устойчива по
начальным данным, если весовой множитель а удовлетворяет нера­
венству
2
2
Т А
1
m ax
(30)
Обратим внимание на то, что схема (29) имеет тот же вид, что и 
схема (6) с ф” = 0, однако оператор 
А
определяется теперь по-ино­
му, а именно в соответствии с формулами (28). Как было показа­
но в § 2, оператор (28) обладает перечисленными выше свойствами 
1) и 2), причем для него
ктах
=
±
cos2 
z b ,
+
±
cos2 
< _L + J _
hi
2/x ^ A* 
2
h 
hi 
hi
Условие устойчивости (30) будет выполнено, если
а ^ 2
2
1
тЛ
(31)
Таким образом, 
схема
(29) 
устойчива по начальным данным
при условии
(31). Устойчивость здесь понимается как выполнение 
при любых начальных данных оценки
№Я1К№°11, 
/ 1 = 0 , 1 , . . . , * - ! ,
где
Л/,-1 
JV,-1
\УПГ =
2 ^ S А^ “/)2
i=i 
i=i
Аналогично исследуются устойчивость схемы (29) по правой части 
и ее сходимость. Если о = 0 ,5 , то схема (29) имеет второй порядок 
точности по т и по 
h,
при остальных о — первый порядок точности 
по т и второй — по 
h.
Условие (31) становится более наглядным, если сетка 
— 
квадратная, т. е. 
hi = h2= h .
Тогда неравенство (31) принимает вид
2
2
hI
8т
(32)
В частности, явная схема (о = 0 ) устойчива при условии —
— ,
А г 
4
которое является еще более жестким, чем в одномерном случае.
327

---

Неявные схемы с 
0,5 абсолютно устойчивы, однако в отличие 
от одномерного случая решение неявных двумерных разностных 
уравнений представляет значительные трудности.