|
1
i —
1
и при каждом t = l , 2, . . . ,
N
\ —1 — тождество
N
t - l
-
2
h^ , . n vy
i
=i
Л ',
2
h0y- --v-
I
^Хг,Ч X’
/= 1
(3)
где
Ухиц
= (&/ ~
yi-i,i)lhi,
У-Х2,ц
—
{Уч
Из (2) и (3) получим
Л'2-l
Л^-1
Л’2-1
-
2
h *
2
h ^ M
v 4 -
2
/г1
2
h ^ x , v 4 =
= 2* л» 2
+ 2
*lh
2
ь & ' А т
/= i i=i
t—i
/=1
т. е.
(Лг/, г.1
) = 2 /г1 2
h*y-*aiv*uti
+ 2 Al 2
h* x , A . i r
i'=l
/=1
t=l
/=1
Поскольку функции
у
и и входят в правую часть тождества (4)
равноправно, получаем, что (Лу,
v) = (y, Av)
для любых
у,
у е й .
Итак, оператор Л — самосопряженный.
2.
Оценка собственных чисел. Положительность оператора.
Рас
смотрим теперь для этого оператора задачу на собственные зна
чения
А у = Х у
или, более подробно,
У х^.и
+
Ух#,м
+
'-Уч' ~
°*
хч
<= со,
(5)
Уц
— 3,
Х
;-
се
у ■
Так как Л — самосопряженный в
Н
оператор, существуют
{Nt
—1) X
X (
j
V2— 1) действительных собственных чисел, а система собствен
ных функций образует в
Н
ортогональный базис.
318
Выпишем в явном виде решение задачи (5). Рассмотрим два
набора чисел
а * = — sin2
nk-Ji-L
2k
’
* i = l , 2 , ..
к
= —
ч
■
sin2
nk2h2
2
12
’
* 2 = 1 , 2 , ..
и образуем всевозможные суммы вида
Я.
й
1
й
!= ^
й
1+Х)12,
ka= l ,
2,
Na
—1,
a = l , 2.
(6)
Далее, рассмотрим системы функций
/ с»
ТТ Ь
у ^ ^
=
У
— sin
- р - ,
^ = 1 , 2,
. . . , Л^ — 1,
'
*1
*1
xM = ihu
i = 0, 1, . .
N u h1N1 = t1
и
О
S l k -чХ
^
- s i n - — - , *2= 1 , 2 ,
j
V2 — 1,
/‘2
*2
=/ ^2. 7 = 0, 1, . .
N2, h2N2 — l2
и образуем всевозможные произведения вида
Р*
(Хц)
= щ, (лф>)
О#1),
k = { k l, k 2), k t= \ , 2, . . . . 7Vt— 1, *2= 1 , 2 , __ TV2—1,
*// = (*<°, *<л) е
(7)
Учитывая результаты § 1, относящиеся к одномерной задаче на
собственные значения, можно простой подстановкой чисел (6) и
функций (7) в уравнение (5) убедиться в том, что при каждом
k = (ki, k2)
число
Xк = Xk,k2 =
. sin2£M l + -± -sin2 ДМ*.
*k
hi
2L
(
8
)
является собственным числом пятиточечного разностного операто
ра Лапласа (1), которому отвечает собственная функция
2
nk2xip
№ (хп)
= Ры*
(х ч)
=
~Т7тТ
sin — ;— sin — ;— •
(9>
У n h
k
h
Индексы
k = ( k u k2)
и
m=- (mh m2)
назовем совпадающими,
и обозначим
k = m,
если
k 2 = m u k2= m 2
и несовпадающими
{k^=m
) — в противном случае. Покажем, что при
k^=m
функции
и рт являются ортогональными, т. е. (pfe, pm) = 0 при
k^=m.
По
319
определению имеем
JVt-i
Nr
-1
(и*,
^ /г' 2
') .и*> (<Л) М<"1 К ’)
(*(2Л) =
t'=l
/=1
2 ЛгИ-*,
(х<р)
р,„2 (*) j .
Согласно замечанию на стр. 314 в § 1, по крайней мере одна
из сумм, стоящих в круглых скобках, равна нулю при
1гфт.
Ана
логично доказывается, что норма функции (9) равна единице. Та
ким образом, система функций
образует ортонор-
мированный базис в пространстве
Н
и числа
Xklk2,
определенные со
гласно (8), составляют при
k , — \,
2, . . . , ЛА—1,
k2= l , 2,
. .., А2—1
весь спектр оператора
А.
Пользуясь результатами § 1, относящимися к оценкам собствен
ных чисел одномерной задачи, получаем, что все собственные чис
ла (8) удовлетворяют неравенствам
2
> 4 ^
( х ф 1)
Ц т ,
( л ф > )
1-1
9
9
_
Л
— + —
л?
£
( 10)
Наименьшее и наибольшее собственные числа
л / l x
,
4
.
о
я Д ,
4
о nho
-------------
sin2
---------- --
A m a x = —
C O S 2 -------
1
+
—
C O S 2 —
-
2*1
h 2
2 / - .
’
п2
h\
2
/ ,
^
4
2^2
Так же, как и в § 1, получаем оценки для энергии оператора
^mJlyll2^
{Ay, у)
Заметим, что согласно (4),
{Ay,
i / ) = 2
2 1
h*
(^ ,,/)2 + * 2
,ч
2
i=i
/=1
i=i
/=1
§ 3. И сследован ие устойчивости и сходи м ости схемы с весам и
для уравнения теп лопроводности
1.
И сходн ая за д а ч а и р азн остн ая сх ем а .
Схема
с
весами для
уравнения теплопроводности рассматривалась в § 4 гл. 1, где была
исследована ее погрешность аппроксимации и найдены необходи
мые условия устойчивости. В настоящем параграфе дано полное
исследование устойчивости и сходимости схемы с весами и получе
ны оценки погрешности.
Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения
теплопроводности
т + /(* -')-
о < * < / , о < г < 7 \
d t
д х
2
u(
0
,
t) = и {
1
,
0
=
0.
о
(
1
)
и
(
х
, 0
) = и 0(х),
0 ^
х
^ /.
320
Введем сетку coAt=io/,Xcot, где
0, 1,
N, hN = l\,
1, .. .,
К, Kx = T},
и обозначим
yl = y ( x u tn),
у
?
п
~
у
!
n
y h - M + y h
yt,i
-
-
-
У**-1
-
h*
Дифференциальную задачу (1) заменим на сетке шЬт разностной
задачей
& = < . « + ( 1 - ° ) & . . + ф?.
(2)
i = l , 2 ____М— 1, л = 0, 1......... К— 1,
где а — число и ф?— сеточная функция, заменяющая функцию
f(x, t).
К уравнениям (2) следует добавить разностные начальные
и граничные условия
Уо
= У й = 0 .
п =
1 .2 , . .
К—
1,
y] = u0(xi),
i = 0, 1, . .
N.
(
3
)
Разностная задача (2), (3) называется
схемой с весами для
уравнения теплопроводности.
Точность этой разностной схемы ха
рактеризуется погрешностью
г* = у "
—
u(xit
/„). Для погрешности
получаем задачу
П
Л + 1
1 / 1
ч
п
,
, п
2м
=
o z x X , i + ( [ -
a ) z ' x x . i + b ,
i = l , 2 , . . . , l V - l ,
п = 0,
1........ /с—1,
(4)
Z0 = ZN = °<
2? = °. 1 = 0,1
где ф? = —
u"i
+
ouj
^
j
+ (1 — а)
и^х
. + ф
1 —
погрешность
аппро
ксимации схемы (2), (3) на решении задачи (1). В § 4 гл. 1 было
показано, что при надлежащем выборе
ф
? справедливы соотно
шения
ф" = О (т2 +
Щ
при
a = a, = j — - ^ - ,
ф
7 = 0
(т2 +
h2)
при
о =
0,5,
ф" =
О (х
+ /г2) при
а ф о „
а =£0,5.
В настоящем параграфе мы получим оценки решения разност
ной задачи (2), (3) через начальные данные
У\
и правую часть
ц>?,
выражающие устойчивость схемы по начальным данным и по пра
вой части. Из этих оценок будут сразу следовать оценки погреш
ности
z
? через погрешность аппроксимации ф?, характеризующие
сходимость и точность схемы (2), (3).
11
А . А . С а м а р с к и й ,
А . В . Г у л и н
321
Для того чтобы схемой (2), (3) можно было пользоваться, не
обходимо, чтобы уравнение (2) было разрешимо относительно у"+1.
Введем оператор, уже рассмотренный в § 1, а именно оператор
второй разностной производной
(Ay)i
= - y - x ., i =
1, 2, .
. . ,
N
— 1,
У0
—
Ум
—
0.
(5)
Тогда схему (2), (3) можно записать в операторном виде
ип+1 — ип
-----------— (-
oAyn+1
+ ( 1 —
а)А уп = <рп,
у° — и°,
(6)
где
уп = (у?,
y l ,
y nN-i)T,
фи = (фы . . . . фл'-х)7,
и°=
(«о (-к.),
и0(х2), . . . , ua(xN- i ) ) T,
или, что то же самое, в виде
(E + axA)yn+1 —
(
Е
— (1—
а) хА)уп + ху”,
где
Е
— единичный оператор. Разрешимость уравнения (6) относи
тельно
y n+i
эквивалентна обратимости оператора
В — Е + ахА.
Опе
ратор
В
будет иметь обратный, если потребовать
1 + отЛ*>0,
k = \ , 2 ,
(7)
где Я*>0— собственные числа оператора (5). В дальнейшем всегда
будем предполагать, что неравенство (7) выполнено. Заметим, впро
чем, что условие разрешимости (7) следует из полученного далее
условия устойчивости схемы (2), (3).
2.
Устойчивость схемы по начальным данны м .
Переходя к иссле
дованию устойчивости схемы (2), (3), будем искать ее решение
в
виде разложения по ортонормированному базису {р*}^* собствен
ных функций оператора (5). Явный вид собственных чисел и соб
ственных функций р„ дается формулами (12), (14) из § 1. При
каждом
п
решение
yl = у ( х и tn)
можно представить в виде
N
- 1
У
( X i ,
tn) =
2
с* (tn)
РА
( X i ) .
(
8
)
k=i
Правая часть ф? уравнения (2) также допускает разложение
N- 1
^
ф
( X i ,
tn)
= 2 Ф*
(tn)
ИА
(xi)-
(9)
k=l
Здесь
ch(tn),
ф
h(t
n) — коэффициенты Фурье функций
у (х ь tn),
ф(^, /„) соответственно. Подставляя (8) и (9) в уравнение (2) и
учитывая, что (рь( х ) ) г ,,= —А,*р„(х(), получим
^
J
Ск (
1
п+
1
) ~ ск (
1
п)
,
,
ы
ч
,
2 И*
(хд
--------- -------------b
oXkCk (tn+i)
+
+ (1
— a )lkck (tn) — 4>k(tn)
Do'stlaringiz bilan baham: |
