А. А. Самарский, А. В. Гулин

Z W
/ +
 
г х
1
х „
1
{ = ~
Ф ‘
7
> 
x ‘i
S
0 1 -
Zij
0, 
xtj^ ,
(14)
где фц 
= u —iXuli
+ ы
7
Л1г; +
fa
— погрешность 
аппроксимации на 
решении задачи (1). Если четвертые производные решения 
и(хи х2)
ограничены, то погрешность аппроксимации является величиной 
второго порядка малости относительно 
h — (h\-\-h\)v\
т. е. суще­
ствует постоянная 
М„
не зависящая от А, и А2 и такая, что
1С(61) '
Мг (hi
+
hi).
(15)
Заметим, что задача (14) отличается от разностной схемы (2) 
только правыми частями в основном уравнении и в граничных ус­
ловиях. Поэтому для решения задачи (14) справедлива оценка, 
аналогичная (13), а именно оценка
llC(fi)
С
/4 4- /2 
11
*2
Цв)'
303

---

(16)
Отсюда и из (15) получаем неравенство
II2 1с(0) ^ -'^2 (hi + hi),
где 
М2=0,25М, (if
+
1\)
— постоянная, не зависящая от Л, и 
h2.
Из 
оценки (16) и следует, что схема (2) сходится и имеет второй по­
рядок точности.
§ 4. Примеры применения принципа максимума
В этом параграфе будем рассматривать разностные уравнения 
Ly (x )= F( x) ,
 
х е й , 
(1)
где
Ly(x)=--A(x)y(x)—
2
в (х,1)У(1),
 
(2)
причем оператор 
L
удовлетворяет условию положительности коэф­
фициентов
Л (* ) > 0 , 
В ( х Л ) >
 0, 
D(x) = A(x) —
2
В ( х Л ) ^ 0 .
 
(3)
Ъ~шчх)
Линейный оператор 
L
называется 
монотонным оператором,
если из условия 
L y ( x ) ^
0 для всех x e Q следует, что 
у ( х ) ^
0 для 
всех x e Q . Поэтому разностные схемы, удовлетворяющие при всех 
х е Й условиям (3), называются 
монотонными разностными схема­
ми.
Схемы, для которых условия (3) не выполнены хотя бы в од­
ной точке х е й , называются 
немонотонными.
В § 2 было показано, что условия (3) обеспечивают монотон­
ность оператора L, выполнение принципа максимума и коррект­
ность разностной задачи (1) в сеточной норме 
С:
Ы1сщ) = п,ах Ы*)1-
' 
'
-Г>
Разумеется, отсюда не следует, что немонотонная схема обяза­
тельно некорректна. Подчеркнем, что выполнение условий (3) (на­
ряду с другими условиями, сформулированными в теоремах из § 2) 
является достаточным условием корректности.
Приведем несколько примеров монотонных разностных схем 
для нестационарных уравнений.
П р и м е р 1. Рассмотрим схемы с весами для уравнения тепло­
проводности