|
Несвязная
с е т к а
ной (шаблон предполагается пятито
чечным, таким, как при аппроксимации уравнения Пуассона).
Определим сеточный оператор
L
формулами
L y ( x ) = A ( x ) y ( x ) -
2
В{х, 1)У©
(2)
и обозначим
D(x) = A ( x ) -
2
В{х,\).
(3)
getff'U)
Тогда задачу (1) можно записать в виде
L y( x )= F( x ),
х е й .
(4)
Заметим, что выражение
Ly(x)
можно представить также в виде
Ly (х) = D{x)
у
(х)
+ 2
в (х,
1)
(у
(х) —
у
(I)).
£<=Ш'М
Будем говорить, что в точке х е й выполнены
условия положи
тельности коэффициентов,
если
A (x )> 0 ,
В(х,
|) > 0 для всех
%^Ш'(х), D ( x ) ^
0.
(5)
2. Принцип максимума и его следствия. Сформулируем теперь
основную теорему настоящего параграфа (см. L33]). Наряду с сет
кой Q будем рассматривать какое-либо ее подмножество и и
обозначим
й = и
Ш(Х).
Для наглядности читатель может представить себе, что й — это
сетка, введенная в § 1 при аппроксимации уравнения Пуассона в
прямоугольнике, а со — множество ее внутренних узлов. Очевидно,
295
что при этом co=Q. В общем же случае требуемые свойства мно
жеств Q и ш сформулированы в приведенной ниже теореме. Заме
тим, что в этой теореме функция
у(х)
не обязана являться реше
нием задачи (4), используются только свойства оператора
L.
Т е о р е м а 1 ( п р и н ц и п м а к с и м у м а ) .
Пусть сетка
П
и
ее подмножество
со
являются связными
,
причем
<о^£2.
Пусть в
со
выполнены условия положительности коэффициентов
(5).
Тогда,
если функция у(х), заданная на
П,
не является постоянной на
со
и
Ly(x)
при всех
xsoj
(6)
(либо Ly(x
) ^ . 0
при всех
х е о ) ,
то у(х) не может принимать наи
большего положительного
(соответственно наименьшего отрица
тельного) значения на
со
среди всех ее значений на
со.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть выполнено условие (6). Будем до
казывать теорему от противного. Допустим, что в точке х0еоз
функция
у(х)
принимает наибольшее положительное значение,
т. е.
у (х0)
= max
у (х)
> 0.
(7)
*6=0)
В этой точке выражение
Ly (х0)
=
D
(АД
у
(х0) -f
2
В (х0Л) {у {х0) — у ($)
(8)
неотрицательно. Действительно, согласно условиям (5) и предпо
ложению (7) имеем
D(x0) ^
0,
y{xQ)>0, В ( х 0, $ ) >
0,
у ( х 0) &zy(W
,
так что
Ly(x0) ^ 0 . С
другой стороны, из условия (6) следует, что
Ly(x0) ^ .
0. Таким образом, если выполнено (7) в точке х0есо, то
Ly(x
о)=0. Но тогда, учитывая неотрицательность всех слагаемых
правой части выражения (8), получим
D(x0) y ( x a) =
0,
В( х0, 1 ) ( у ( х 0) - у ( 1 ) ) =
0,
1е=Ш'{х0).
Отсюда, в силу предположения
у ( х а) >
0 и условия
В ( х 0,
£) > 0
следует
У(1)=У(Х
о) для всех
\<=Ш'(ха).
(9)
Далее, поскольку
у ( х ) ф
const в со, найдется точка
хй
ecu,
в которой
у(х'а) <1у{х0) .
Из предположения о связности сетки со
вытекает существование системы узлов
х и х
2, . . . ,
хт,
принадлежа
щих со и удовлетворяющих условиям
x ^ U I ' i x v ) , хг<=Ш'{хТ),
. . . .
xme=UI'(xm-s),
х'а е Ш ' ( х т).
Из условия (7) и доказанного свойства (9) получаем
y ( x i)=y(x„).
Следовательно, относительно точки
х 1
можно повторить все пре
дыдущие рассуждения и доказать, что
У(1)=У(Х
i) Для всех g e Z Z T ^ ).
296
Аналогично докажем, что
y ( X
i ) =
y ( x
2) = . .
. =
у ( х
т ) =
у {
х
0 ) .
Оценим величину
L y (Х,п)
Т) (■'•":) У
(
Х
,п) I'
^
Е
(-^т, £) (£/ (А'".'.';)
У
(Е))*
Из условий (5), равенства
у ( х т) = у ( х 0)
и предположения (7) по
лучаем строгое неравенство
L y (Хт)
В
(.V,,, Ajj)
{ij
(A
q
)
у (Х0))
7> О,
которое противоречит условию (6). Таким образом, допущение (7)
неверно. Случай, когда
L y ( x ) ^
0, для всех хесо сводится к рас
смотренному случаю путем замены
у
на
—у.
Теорема 1 доказана.
З а м е ч а н и е . Принцип максимума остается справедливым и
в том случае, когда ы=£2. Предполагается при этом, что
ш = U
Ш(х)=£2.
В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем
дгеш
считать сетку £2 связной.
С л е д с т в и е 1.
Если при всех
х е й
а)
выполнены условия положительности коэффициентов
(5),
б)
L y ( x ) ^ 0 { L y ( x ) ^ 0 ) , и найдется хотя бы один узел
Х[,е£2,
в котором
D(xa)
> 0, х „ е й ,
(10)
то у(х)
(у(х)
^ 0 )
для всех
х е й .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если
у { х ) Ф
const при х е й , то утверж
дение следует из принципа максимума. Действительно, предпола
гая, что
у ( х ) >
0 хотя бы в одной точке х е й , мы допускаем суще
ствование в £2 положительного максимума функции
у{х),
что про
тиворечит принципу максимума. Если y (x )= c o n s t при х е Й , то в
точке
х0,
для которой
D(x0)
> 0 , имеем
Ly (х0) = D (х0) у
(х0) +
2
В
(
а
-0, |)
(у (Хц)
—
у
(с)) =
D
(х0)
у
(*„) < 0,
о)
откуда получим
у(х) = у { х а)
^ 0 .
Точку х е Й назовем
граничной точкой,
если
Ш'(х
) — пустое
множество,
Ш ' ( х ) = 0 .
Если сетка £2 содержит хотя бы одну гра
ничную точку
х0,
то
D (хо)
Do'stlaringiz bilan baham: |
