|
П р и м е р 1. Рассмотрим задачу
и" (х)
——/ (х), 0 < х < 1 ,
h
'(0 )= 0 ,
н
(1)=0.
По аналогии с § 2 гл. I построим разностную схему второго
299
порядка аппроксимации
i = \ , 2, .. . , N
— 1, - ^ . о = 0,5/г/0,
yN =
0.
(18)
Запишем схему (18) в каноническом виде:
Уо=У
1
+
0 ,5 /г 2/ о,
у{
= 0 ,5
( у ^ + у и
0 +
~ ft, i =
1, 2, . . . ,
N
— 1,
U
n
=
0 .
Сетка Й состоит из узлов
х i=ih, i =
0, 1, . . .
,N,
и имеет одну гра
ничную точку
x —xN.
Окрестность
Ш' (х0)
узла
х 0
состоит из одного
узла *=%!. Окрестность
Ш' (х{)
узла
х{
при £=1, 2, . . . , IV—1 состо
ит из двух узлов
Xi-t, xi+l.
Сетка, очевидно, является связной. Свой
ства положительности коэффициентов (5) выполнены, причем
D(x;)= 0 при
i =l ,
2, . . ., iV—1,
D
(
x n
) =
A
{
x
n )
=
1. Таким образом,
к разностной схеме (18) можно применять принцип максимума и
его следствия.
П р и м ер 2. Для уравнения
н"(х) = - / ( * ) ,
0 <х < 1 ,
u '( 0 ) = u '( l ) = 0
(19)
строится разностная схема
y-x*,i = - f ( x L),
£ = 1 , 2 , . . . , Л / - 1 ,
— Ух.
0
=
0,5А/0,
у-
д ,
=
0,5
hfN.
Канонический вид этой схемы
y 0= y l + 0,5h2f 0,
z/,=0,5(i/i_1+z/i+1) + 0,5/i2/i,
£= 1 , 2 , . . . ,
N
1,
yN
= t/jv—
i —
|—
0,5/r2/
jv
-
(
20
)
Окрестности узлов
x0, xN
сетки Й состоят каждая из одного узла,
а окрестности точек
хи
£=1, 2,. . . ,
N —
1,— из двух узлов. Гранич
ных точек сетка не имеет. Условия
А { х ) >
0,
В{х,
|) > 0 , Z)(x) = 0
выполнены в каждой точке сетки. Нет ни одной точки
х 0
сетки Q,
в которой выполнялось бы строгое неравенство D(x0)> 0 . Поэтому
нельзя применять следствия 1 и 2 и утверждать о существовании
и единственности решения задачи (20). И действительно, решение
задачи (20) (так же как и исходной дифференциальной задачи
(19)) не единственно: наряду с
у(х)
решением является функция
v (х) =у(х)
+ а, где
а
— любая постоянная.
§ 3. Доказательство устойчивости
и сходимости разностной задачи Дирихле
для уравнения Пуассона
1.
Устойчивость по граничным условиям.
В § 1 рассматривалась
задача Дирихле для уравнения Пуассона
ди
'
ди
'- — f i x
1, JCa),
* = (*!, xa) e G ,
, ,
, ,
т-i
d )
и ( х ) = у ( х ) ,
г е Г ,
К
300
в прямоугольнике
G = { 0 < x l< l i,
0 < х 2< / 2} с границей Г. Была вве
дена сетка
£1 = {хц = (х[, х{),
1
= 0, 1
,
<
Nlt
/ = 0, 1, . . . , Л/2},
где
x[ — ihy, х'а = j h2, h ^ l J N i , h2 — l2/N2,
и построена разностная
схема второго порядка аппроксимации
У^хиЦ + УхгХ1,ч
= — / ‘7.
ХИ
-
Ун =
Ц
(Л,
х2),
Х ц
^ у.
(
2
)
Здесь со — множество внутренних узлов сетки £2 и у — множество
граничных узлов:
® =
{хц
= (*i,
х[),
/ = 1 , 2 , . .. ,
Ny —
1, / = 1, 2, . .. ,
N2 —
1},
(
y v 2- l
f
1
/V
, - 1
у = Х0/,
X M J \
и И .'о,
Х ш г
/=1
Разностная схема (2) приводится к каноническому виду
А (х)у(х) =
2
B ( x , t ) y ( t ) + F(x),xG<*,
(3)
(4)
у(х) = р(х),
х<=ч,
где для х—
окрестность
Ш'(х)
состоит из четырех узлов
А ( х ) = - ^ - + - ~ , В(х, xi±y,i) = A - , В(х, х и ± у) = А - ,
(5)
П1
Л2
П1
П2
В (х) —f {Хц)
.
Обозначая, как и ранее,
L(x)y(x) = A ( x ) y { x ) ~
2
В(хЛ)У(1),
ЬеШ’М
запишем задачу (3), (4) в виде
L {x )y (x )=F{x ),
хесо,
у (х )= р (х ), х е у .
(6)
В настоящем параграфе будет получена оценка решения зада
чи (2) через правую часть / и граничные условия р, означающая
устойчивость этой задачи, и будет показано, что при /г,—
v0, /г2—
>-0
норма погрешности
II
У —
« !с(Я) = max |
у
(х) —
и
(х) |
'
’
к.--
стремится к нулю. Тем самым будет доказана сходимость разност
ной схемы.
Запишем задачу (2) в виде (6) и представим ее решение
у(х)
в виде суммы
у(х) =у
(х)
+ у
(х), где
у(х)
— решение однородного
301
уравнения с неоднородным граничным условием:
Ly(x) =
О,
а
^
со
,
(
а
) =
[х
(
а
),
х ^ у ,
(7)
и
у (
а
) — решение неоднородного уравнения с однородным гранич
ным условием:
Ly
(
а
) = F (
а
),
а
^
со
,
у
(
а
) = 0 ,
А Е у
(8)
Отметим, что для задачи (6) выполняются все условия принци
па максимума, поэтому можно воспользоваться результатами § 2.
В частности, к задаче (7) можно применить следствие 3 из § 2, ко
торое приводит к оценке
II ^ llc(C
2
) ^ I И1 llc(v)’
где
II
У
llc(Q) = maX 1
У
М I.
I! E llc(v) = maX I И (*) I •
2.
Устойчивость по правой части и сходимость.
Оценить реше
ние неоднородного уравнения (8), пользуясь только результатами
§ 2, невозможно. Однако можно легко построить мажорантную
функцию для решения задачи (8) и применить затем теорему
сравнения. Рассмотрим функцию
Y (х) = К (1\
+
1\
—
х\
— Аа),
(10)
где
К
— пока произвольная положительная постоянная, а
I,
—
длины сторон прямоугольника
G.
Ясно, что У (х )^ 0 при всех АеЙ.
Обозначим
D
(
а
)
=
А
(
а
)
2
В (*Л)
и вычислим выражение
Do'stlaringiz bilan baham: |
