А. А. Самарский, А. В. Гулин

LY(x) = D( x ) Y( x ) +
2
B( x, l ) ( Y( x ) ~Y( l ) )
£ед/ (дг)
для функции (10) 
в 
любой точке 
А е и .
Заметим, что по построению
LY
(
а
) 
= — У - — 
Y - .
Кроме того, для функции (10) справедливы равенства 
д2У 
„ „
, ,
д*У
У -
дх?
2 
К, Y-
к
2
К .
Таким образом, 
L Y
(
а
) 
= 4 К
и
м о ж н о
считать, что функция У(х) 
является решением краевой задачи
L Y ( x ) = F ( x ) , х = а>, 
Y
(
а
) 
=
ц (
а
), 
х ^ у ,
(1 1 )
где 
F ( x ) = 4 K
 
и р
(
а
) 
^ 0 — значение функции (10) при х е у . Если 
положить
302

---

то по отношению к задачам (8), (11) будут выполнены все условия 
теоремы сравнения (см. аналогичные задачи (13), (14) в § 2). Из 
теоремы сравнения следует оценка
\V\cw
< т ах У ( * ) < К
( Ц + Ц ) .
дгей
Отсюда, учитывая выбор константы 
К,
получим
( | 2 >
Из неравенства треугольника и оценок (9), (12) следует оцен­
ка решения задачи (2)
(13)
Поскольку константы, входящие в оценку (13), не зависят от 
шагов сетки А, и А2, данная оценка выражает собой устойчивость 
разностной схемы по правой части / и по граничным условиям р. 
Отметим геометрический смысл константы 
1\
+ ^ — это квадрат 
диаметра области 
G.
Тем самым полностью доказана корректность (однозначная 
разрешимость и устойчивость) разностной схемы (2). Перейдем те­
перь к исследованию сходимости разностной схемы и к оценкам 
погрешности.
Обозначим 
гц=уц— и(х[, х[),
где 
— решение разностной за­
дачи (2) и 
u(Xi, хЦ —
решение исходной дифференциальной зада­
чи (1). Подставляя 
уц=гц+иц
в уравнение (2), получим, что по­
грешность удовлетворяет уравнению