А. А. Самарский, А. В. Гулин

£ + £ = 0, 
* > 0 , ( > 0 ,
d t
д х
(
12
)
и ( х , 0 ) = и 0(х), х > 0 ,
 
ы(0, ( ) = р , ( ( ) , * > 0 .
Известно, что решение 
u ( x , t )
этой задачи переносится по ха­
рактеристикам /= x + c o n st с начальной прямой, т. е. 
u{x,t) =
= u 0(x—t),
если 
x > t
и 
и{х, t) = \il (t—x ) ,
если 
x
306

---

П р и м е р 3. В квадранте л:>0, /> 0 введем сетку с шагом й 
по л: и шагом т по 
t
и обозначим 
Xi=ih, i—
0, 1,. . ., 
in=nx, п=
=0, 1 , . . . ,
у1 = у { х in).
Одна из простейших схем для уравнения 
(12) имеет вид
у
Г 1
— у" 
у
1
— 
у
1_.
-----~ + ~ г 
= 0. 
1 = 1 , 2 , . . . , п =
0 , 1 , 2 , . . . ,
(13)
X 
п
yl =
u 0 ( X i ) ,
i = 0 , l , . . . ,
yl = Vi(tn), п =
1,2, . ..
Записывая уравнение (13) в виде, разрешенном относительно 
У1+1,
получим
0?+1 = О — Т ^ + ТЙ^, 
Y =
Отсюда следует, что схема (13) монотонна при условии т ^ й .
Пользуясь приемом, изложенным в § 4 гл. 1, можно показать, что 
условие т ^ /i и необходимо для устойчивости схемы (13).
Другая схема
йГ
У;
+
«и
У!
= о
немонотонна при любых т и й. Более того, эта схема абсолютно 
неустойчива.
Явная схема
т 
2 
h
имеющая второй порядок аппроксимации по 
h,
также немонотонна 
и абсолютно неустойчива. Если в последней схеме заменить 
У1
на 
полусумму 0,5 (г/"+1 -р г/" ), то получим разностную схему
У и
1 ~
У U
2 
h
= 0,
(14)
которая монотонна при т ^ й . Однако указанная замена ухудшает 
аппроксимацию, погрешность аппроксимации схемы (14) является 
величиной 
О
(т + й 2) +
О
(й2/т ). В этом легко убедиться, если запи­
сать схему (14) в виде
П 
. 
п 
h? 
п
yt,i+y° : = — y-xlCii,
2т
где
yi
^ ( с . - й ^ д а ) .
П р и м е р 4. Рассмотрим еще одну схему для уравнения (12):
+
= 0 ,5
hv0yl
. 
(15)
• 
X J
X X ,  1
Здесь vo> 0 — постоянная, не зависящая от т и й. При v„=0 по­
лучаем абсолютно неустойчивую схему. Введение искусственного
307

---

добавка 0,5
hv0 у-
. в правую часть уравнения делает схему услов­
но устойчивой, понижая одновременно порядок аппроксимации по 
h
до первого. Схемы, аналогичные (15) и аппроксимирующие урав­
нения газовой динамики, называются схемами с искусственной 
вязкостью (см. [36]). Записывая уравнение (15) в виде
У?1 =
0,5у (v0 — 1) 
ynUi
+ (1 — v0y) 
у*
+ 0,5у (v0 + 1) 
y l v
получаем, что условия монотонности (3) выполнены при v0^ l ,
v;1. Таким образом, чем больше коэффициент искусственной 
вязкости Vo, тем слабее ограничение на шаги сетки, вызванное тре­
бованием устойчивости. Надо помнить, однако, что введение искус- 
.ственной вязкости может существенно исказить поведение истин­
ного решения задачи (12). Поэтому при практических расчетах ко­
эффициент вязкости v0 берут не слишком большим.