9-amaliy mashg’ulot. Funksiya tushunchasi. Funksiyaning aniqlanish va o`zgarish sohasi. Juft va toqligi, davriyligi. Ketma-ketlikning limiti, funksiyaning limiti, bir tomonlama limitlar. Ajoyib limitlar

Ta’rif: Agar у=f(x) funksiya biror D sohaning har bir x nuqtasida o‘zgarmas C soniga teng bo‘lsa, u D sohada o‘zgarmas funksiya deyiladi.

Masalan, x(−∞,∞) sohada f(x)=sin²x+cos²x=1, x(–∞,0) sohada f(x)=x/|x|=–1 o‘zgarmas funksiya bo‘ladi.

Murakkab va teskari funksiyalar. Funksiyalar bilan bog‘liq yana ikkita tushunchani kiritamiz.

Ta’rif: Agar z=(x) funksiya X→Z , у=f(z) esa Z→Y akslantirishni ifodalasa , unda у=f((x)) funksiya X→Y akslantirishni ifodalaydi va murakkab funksiya dеb ataladi. Bu yеrdа  ichki, f esa tashqi funksiya deyiladi. y=f((x)) murakkab funksiya f va  funksiyalarning superpozitsiyasi deb ham aytiladi.

Masalan, у=sinx² murakkab funksiya bo‘lib, unda (x)=х² ichki, f()=sin esa tashqi funksiya bo‘ladi. у=sin²x murakkab funksiyada esa (x)=sinx ichki, f()=² tashqi funksiya bo‘ladi.

Ta’rif: Aniqlanish sohasi D{f} va qiymatlar sohasi E{f} bo‘lgan у=f(x) funksiya uchun har bir yE{f} soniga f(x)=y shartni qanoatlantiradigan yagona хD{f} sonini mos qo‘yadigan х=(у) funksiya mavjud bo‘lsa, u berilgan f funksiyaga teskari funksiya dеb ataladi.

Berilgan f funksiyaga teskari funksiya f^--1 kabi belgilanadi. Bunda f^—1 faqat belgilash bo‘lib, u 1/f degan ma’noni ifodalamasligini ta’kidlab o‘tamiz.

Odatda argumеnt х, funksiya esa у orqali belgilanganligi uchun, у=f(x) funksiyaga teskari х=(у) funksiya y=(x) yoki у=f^--1(x) ko‘rinishda yoziladi.

Agar у=f(x) funksiya o‘suvchi yoki kamayuvchi bo‘lsa ,unga teskari funksiya у=f^--1(x) mavjudligini va uni f(у)=х tenglama yechimi kabi topishimiz mumkinligini isbotlash mumkin. Masalan, f(x)=3х–1 bo‘lsa, unda 3у1=х tenglamadan teskari funksiya f^--1(х)=(a+1)/3 ekanligini aniqlaymiz.

Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, o‘zaro teskari funksiyalar uchun D{f}=E{f^–1} va E{ f}=D{f^–1}, f [f ^-1(х)]=x va f ^-1 [f (х)]=x munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari ularning grafiklari y=x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi