8-Ma’ruza. Takroriy sinovlar. Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari. Laplas funktsiyasi va uning xossalari

8-Ma’ruza . Takroriy sinovlar. Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari. Laplas funktsiyasi va uning xossalari.

Reja:

1.Takroriy sinovlar. Bernulli formulasi.

2.Muavr-Laplas teoremalari.

3. Puasson teoremasi.

Tayanch so`z va iboralar

Takroriy sinovlar, Bernulli sхemasi, Bernulli formulasi, Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari, Puasson teoremasi.
Ehtimollar nazariyasida Bernulli sхemasi deganda, o‘zaro bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi tushuniladi va har bir tajriba natijasida biror A hodisaning ro‘y berishi yoki bermasligi kuzatiladi. Bu hodisaning ro‘y berish ehtimoli tajriba tartibiga bog‘liq bo‘lmaydi.

Bernulli sхemasini umumiyroq qilib quyidagicha ham kiritish mumkin. Aytaylik, 2 ta elementlardan iborat bo‘lgan bosh to‘plamdan qaytariladigan sхema bo‘yicha hajmi n ga teng bo‘lgan tanlanmalarni olaylik va bu tanlanmalar to‘plamini deb belgilaylik. ning iхtiyoriy elementi

bo‘lib, 0 yoki 1 ga teng bo‘ladi.

Hamma tanlanmalar soni va da quyidagi manfiy bo‘lmagan funksiyani aniqlaylik. Agar tanlanmada ta 1 bo‘lsa,

, .

Bu funksiyani ehtimol taqsimoti bo‘lishi uchun

ekanligini ko‘rsatish kerak bo‘ladi. Haqiqatan ham, oson ko‘rinadiki, ta 1 elementli tanlanmadagi n ta joyda usul bilan joylashtirish mumkin. Demak, ta 1 ni o‘ziga oluvchi tanlanmalar soni ham shu ga teng, ya’ni

deb olsak,

, .

Bu formula Bernulli formulasi deb ataladi.

Demak, har bir tajribada hodisaning ehtimoli ga teng bo‘lsa ( –“yutuq” ehtimoli), ya’ni tajribadan tajribaga o‘zgarmasa, ta o‘zaro bog‘liksiz tajribalar ketma-ketligida bu hodisaning ( ) marta ro‘y berish ehtimoli (4.9) Bernulli formulasi orqali ifodalanadi.

Agar deb belgilasak, ya’ni hodisaning ro‘y bermaslik ehtimoli ga teng bo‘lsa, (4.9) formula

,

ko‘rinishga keladi.

Oxirgi ifoda binomial taqsimot ham deb yuritiladi.

Bernulli sхemasi bilan bog‘liq bo‘lgan “tasodifiy joylashtirishlarga” taaluqli quyidagi masalani ko‘raylik.

Faraz qilaylik, 1-chi, 2-chi, ..., -chi deb belgilangan ta yacheykalarda zarracha tashlansin (solinsin). Har bir zarracha ta yacheykalardan xohlagan bittasiga tushish mumkinligidan ta zarrachani ta yacheykalarga usul bilan amalga oshishi mumkin. Zarrachalarning yacheykalarga joylashishini ta elementdan iborat bosh to‘plamdan hajmi N ga teng bo‘lgan qaytariladigan sхema bo‘yicha olingan tanlanmalar deb qabul qilish mumkin va tanlanmalardan har biri taqsimotga ega bo‘ladi. Keltirilgan zarrachalarni yacheykalarga “joylashish” (“tushish”) sхemasi uchun i-chi yacheykaga k ta zarracha tushish ehtimolini topaylik. i-chi yacheykaga tushmagan ta zarracha qolgan yacheykalarga usul bilan joylashadi. ta zarrachadan i-chi yacheykaga tushmagan ta zarrachalar usul bilan tashlanadi. Demak, klassik sхema bo‘yicha topilishi kerak bo‘lgan ehtimol

.

Bu yerda formuladan foydalanildi va (4.11) dan ko‘rinadiki, bu ehtimol bo‘lgan Bernulli sхemasidagi ehtimol bilan ustma-ust tushadi.

ta tajriba o‘tkazilganida hodisaning ro‘y berishlar soni va sonlari orasida bo‘lish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi:

.

ta tajriba o‘tkazilganida hodisaning ko‘pi bilan marta ro‘y berish ehtimoli quyidagicha:

yoki .

ta tajriba o‘tkazilganida hodisaning kamida marta ro‘y berish ehtimoli quyidagicha:

yoki .

ta tajriba o‘tkazilganida hodisaning hech bo‘lmaganda bir marta ro‘y berish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi:

.

Bernulli sxemasida hodisaning ro‘y berishlar soni ning eng ehtimolliroq qiymati quyidagicha hisoblanadi:

1. Agar ko‘paytmaning qiymati kasr bo‘lsa, shu kasrning butun qismiga teng, ya’ni (bu yerda – sonning butun qismi).

2. Agar ko‘paytmaning qiymati butun bo‘lsa, ro‘y berishlar soni ning eng ehtimolliroq qiymati ikkita bo‘ladi: va .

1-masala. Bank oltita bo‘limga ega. Har bitta bo‘lim bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan holda ertaga 0,2 ehtimol bilan pulni ko‘p miqdorda buyurtma qilishi mumkin. Ish kuni oxirida bank hodimi ertangi buyurtmalar bilan tanishadi. Quyidagi hodisalar ehtimolini toping: a) ko‘p miqdorda pulga ikkita buyurtma bor; b) ko‘p miqdorda pulga kamida bitta buyurtma bor.

Ye ch i sh. a) hodisa quyidagicha bo‘ladi: {bank bo‘limidan ko‘p miqdorda pulga buyurtma bor}. Masalaning shartlariga ko‘ra, , ; , . Bernulli formulasiga asosan izlanayotgan ehtimol

ga teng bo‘ladi.

b) (4.15) formulaga asosan ehtimolni topamiz:

.

2-masala. O‘q otganda nishonga tekkizish ehtimoli ga teng. Agar 5 ta o‘q otilgan bo‘lsa, a) nishonga 3 marta tegish ehtimoli; b) tekkizish eng ehtimolliroq qiymati topilsin.

Ye ch i sh. hodisani quyidagicha belgilaymiz:

{bitta o‘q otganda nisonga tegish}.

Shartlariga ko‘ra, , , , .

a) Bernulli formulasiga asosan so‘ralgan ehtimol

ga teng.

b) butun son bo‘lgani uchun, nishonga tegish soni ning eng ehtimolliroq qiymati ikkita bo‘ladi: va .

Binomial taqsimot formulasidan ko‘rinadiki, tajribalar soni n ancha katta bo‘lganda, ehtimollarni hisoblashda qiyinchiliklar yuzaga keladi. Shuning uchun ham ga sodda ko‘rinishdagi asimptotik formulalar topish kerak bo‘ladi. Bu masalani bo‘lgan holda Muavr, umumiy holda esa Laplas hal qilganlar. Ular isbotlangan ikkita asimptotik formulalar quyidagi Muavr-Laplas teoremasi ko‘rinishida keltiriladi.