8-Ma’ruza. Takroriy sinovlar. Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari. Laplas funktsiyasi va uning xossalari

3-masala. Ma’lum bir korxona mahsulotining sifatsiz bo‘lish ehtimoli ga teng. Agar bazaga korxonaning 1000 ta mahsuloti keltirilgan bo‘lsa, shu mahsulotlar ichida sifatsiz mahsulot soni roppa-rosa ta bo‘lish ehtimolini toping.

Ye ch i sh. Bu holda , , . Mahsulotlar soni katta, ehtimol esa kichik bo‘lgani uchun Puasson formulasidan foydalanamiz:

.

ni hisoblaymiz: . Shunga ko‘ra

.
Bernulli sxemasida yutuqlar soni uchun ehtimolini topish algoritmi quyidagicha:

1. Masalaning savoliga javobni hodisa deb belgilaymiz va berilgan qiymatlar: yutuqlar soni, hodisaning sodir bo‘lish ehtimoli uchun belgilashlar kiritamiz. Odatda – tajribalar soni, (yoki ) – yutuqlar soni ( hodisaning ro‘y berishlar soni), – bitta tajribada hodisaning sodir bo‘lishi ehtimoli, (“yutqizish” ehtimoli), – hodisaning ta tajribada marta ro‘y berish ehtimoli deb belgilanadi.

Shuningdek quyidagi tavsiyalarni ishlatish foydali bo‘ladi:

a) Agar masalada hodisaning roppa-rosa marta ro‘y berish ehtimoli so‘ralgan bo‘lsa, u holda ehtimolini topish lozim.

b) Agar masalada hodisaning kamida marta ro‘y berish ehtimoli so‘ralgan bo‘lsa, u holda ehtimolini topish lozim.

c) Agar hodisaning kamida 1 marta ro‘y berish ehtimoli so‘ralgan bo‘lsa, u holda ehtimolini topish lozim ( ehtimol hodisaga qarama-qarshi hodisaning ehtimolidir); kamida 2 marta ro‘y berishi ehtimoli so‘ralgan bo‘lsa, u holda ifoda masalaning yechimi bo‘ladi va hokazo.

2. So‘ralgan ehtimolni topish uchun berilgan va qiymatlarini tekshirish kerak. va yig‘indi uchun formulani tanlashda quyidagi tavsiyalardan foydalanish lozim:

a) Agar tajribalar soni berilgan bo‘lib, bo‘lsa, u holda Bernulli formulasini ishlatish kerak: .

b) Agar tajribalar soni yetarlicha katta bo‘lib, bo‘lsa, u holda so‘ralgan ehtimol Muavr-Laplasning teoremalaridan foydalanib topiladi. Muavr-Laplas lokal teoremasiga ko‘ra,

ga teng, bu yerda , .

funksiyaning х argumentning musbat qiymatlariga mos qiymatlaridan tuzilgan jadval 1-ilovada keltirilgan, funksiyaning juftligidan bu jadvaldan argumentning manfiy qiymatlari uchun ham foydalaniladi; qiymatlarida deb hisoblanadi.

Agar soni oraliqqa tushish ehtimoli so‘ralgan bo‘lsa, u holda Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz. Bu teoremaga ko‘ra,

ga teng, bu yerda

.

Laplas funksiyaning qiymatlari jadvalda keltirilgan (2-ilova). toq funksiya, ya’ni bo‘lgani uchun ning manfiy qiymatlari uchun ham ana shu jadvaldan foydalaniladi; qiyamatlarida deb hisoblanadi.

c) Agar ehtimol kichik va yetarlicha katta bo‘lib, bo‘lsa, u holda ehtimoli topilganda Puasson teoremasidan foydalanish kerak. Bu teoremaga ko‘ra

; .

1. 
   Birinchi va ikkinci punktagi ma’lumotlardan foydalanib, so‘ralgan ehtimolni topib, javobni yozamiz.
   

Takrorlash uchun savollar:

1.Binomial sxema deganda nimani tushunasiz?

2. Erkli tajribalar qanday aniqlanadi?

3. Bernulli teoremasi qachon qo’llaniladi?

4. Muavr-Laplasning lokal teoremasi qanday shartlarda bajariladi?

5. Puasson teoremasini ta’riflang.

6. Muavr-Laplasning integral teoremasi qanday hollarda qo’llaniladi?

7. Eng katta ehtimollik son qanday topiladi?