8-Ma’ruza. Takroriy sinovlar. Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari. Laplas funktsiyasi va uning xossalari

2-masala. Iхtiyoriy olingan pillaning yaroqsiz chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Тasodifan olingan 400 ta pilladan 70 tadan 130 tagachasi yaroqsiz bo‘lish ehtimolini toping.

Ye ch i sh. hodisani quyidagicha kiritamiz: ={pilla yaroqsiz}. Misol shartlariga ko‘ra ; ; n=400; ; .

U holda

va larni jadvaldan (2-ilova) topamiz:

,

, chunki da .

Demak,

.

Bernulli sxemasida ning qiymati yetarlicha katta, ning qiymati esa kichkina bo‘lgan hollarda (odatda ; ) hodisaning marta ro‘y berish ehtimoli ni hisoblashda Puasson teoremasidan foydalaniladi.

Puasson teoremasini qo‘llash uchun bitta Bernulli sxemasadagi tajribalar ketma-ketligi yetarli emas, balki Bernulli tajribalar ketma-ketliklari seriyasini qarash kerak bo‘ladi: birinchi seriyada ( ) faqat bittagina tajriba o‘tkaziladi, unda “yutuq” ehtimoli (qiziqtirilayotgan hodisaning ehtimoli) ga, yutuqlar soni ga teng, ikkinchi seriyada ( ) ikkita tajriba o‘tkazilmoqda, har bittasida “yutuq” ehtimoli ga, yutuqlar soni ga teng va hokazo. -seriyada esa, ta tajribalar o‘tkaziladi, har bittasida “yutuq” ehtimoli ga, yutuqlar soni ga teng.

Teorema (Puasson teoremasi). va intilganda ga intililsin, hamda . U holda har qanday fiksirlangan uchun ga intilganda

ga intiladi. Bu Puasson formulasi deb ataladi.

Bu formulaga ko‘ra ta tajriba o‘tkazilganida hodisaning ro‘y berishlar soni va orasida bo‘lish ehtimoli quyidagicha topiladi:

.

funksiyaning qiymatlari jadvallashtirilgan.