7-maʼruza. Funksiyalarni lagranj interpolyatsion formulasi yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

7-MAʼRUZA. FUNKSIYALARNI LAGRANJ INTERPOLYATSION FORMULASI YORDAMIDA APPROKSIMATSIYALASH VA EGRI CHIZIQ YASASH.

Aytaylik oraliqda x argumentning – n+1 ta turli xil qiymatlari berilgan boʻlib, ushbu nuqtalarda biror bir y=f(x) funksiyaning mos qiymatlari berilgan boʻlsin.

(1)

yaʼni f(x) funksiya ( f(x) ni aslida qandayligini bilmaymiz) jadval koʻrinishda berilgan boʻlsin.

T aʼrif 1. Jadval qiymatlari asosida x va y oʻzgaruvchilar orasidagi funksional bogʻlanish koʻrinishi y=F(x) ni aniqlash masalasiga approksimatsiya masalasi deyiladi.

Approksimatsiya masalasida ikkita muammo mavjud:

1. 
   Funksiya koʻrinishini tanlash.
   
2. 
   Topilgan funksiyani jadval qiymatlariga muvofiqlashtirish yoki yaqinligini taʼminlash.
   

Taʼrif 2. – nuqtalarga interpolyatsiya tugunlari, topilishi kerak boʻlgan F(x) funksiyaga – interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi.

Geometrik nuqtai nazardan shunaqangi y=F(x) egri chiziqni topish lozimki, bu chiziq berilgan nuqtalardan oʻtishi lozim, yaʼni interpolyatsiya nuqtalarida asl biz bilmaydigan f(x) funksiya bilan ustma-ust tushishi kerak.

(2)

Masalaning bunday qoʻyilishida masala cheksiz koʻp yechimga yoki umuman yechimga ega boʻlmasligi mumkin. Lekin ixtiyoriy F(x) funksiyani oʻrniga, tartibi n dan oshmaydigan (2) shartni qanoatlantiruvchi:

– koʻphad qidirilsa, ushbu masala yagona yechimga ega boʻladi. – koʻphad funksiyalar ichida hisoblash, differensiallash, integrallash nuqtai nazardan eng qulay funksiya hisoblanadi. Bunday qilishga yana bir sabab: