7-maʼruza. Funksiyalarni lagranj interpolyatsion formulasi yordamida approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

M isol.

Agar tajriba kuzatuvlari soni yetarli boʻlsa, interpolyatsion koʻphadni bogʻlanishning matematik modeli sifatida qabul qilish mumkin.

boʻladi deb aytish mumkin.

Muammo shundaki kuzatuvlar soni ortib borgan sari nazariy jihatdan xatolik kamayib boradi, lekin (4) sistema tartibi ham ortib, uni yechish ham qiyinlashadi. Masalan n=10 boʻlganda 11 ta nomaʼlumli 11 ta tenglamalar sistemasini yechishga toʻgʻri keladi.

Interpolyatsion koʻphad tuzishning original yoʻlini Lagranj taklif qildi. Lagranj har bir interpolyalash tuguni uchun alohida koʻphad tuzishni taklif qildi.

– larning har biri n-darajali koʻphad, u holda (5) ham n-darajali koʻphad boʻladi. – larni har birini

shartlarni bajaradigan qilib tanlanadi.

- ildizlari – boʻlgan n-darajali koʻphad boʻladi. Tushunarliki koʻphad

Koʻrinishda bolib, bu yerda A-qandaydir konstanta. Shartga koʻra boʻladi agar i=j boʻlganda, bundan A-konstantani aniqlaymiz:

u holda tengmas oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi:

Xususiy hollarda ushbu formula quyidagi koʻrinishlarni oladi:

n=1 boʻlganda ikkita nuqtaga ega boʻlamiz , u holda

koʻrinishni oladi.

n=2 boʻlganda uchta nuqtaga ega boʻlamiz , u holda



Misol. funksiya uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi tuzilsin:










va funksiyalar grafiklari turlicha boʻlsada, lekin aynan [0;0.5] oraliqda bu funksiyalar bir-biriga juda ham yaqinlashadi.

Interpolyatsion koʻphadning qoldiq hadi yoki xatoligi

Boʻlib, shartga koʻra tugunlarda boʻladi. Shuning uchun

nuqta [a;b] oraliqdan olingan nomaʼlum nuqta boʻlgani uchun, ushbu formula xatolikni faqat baholash imkonini beradi. Roll teoremasiga koʻra hosilalar chegaralangan boʻlsa, n ortgan sari xatolik nolga intilib boradi. [a;b] oraliqdagi joriy nuqtada interpolyatsiya xatoligini baholaymiz:

Bunda

Butun [a;b] oraliq boʻyicha xatolik bahosi

Yuqorida koʻrib chiqilgan misol uchun xatolik baholarini olamiz:

u holda nuqtadagi xatolik:

ni tashkil qilsa, butun [0;0.5] oraliq boʻyicha maksimal xatolik:

ni tashkil qiladi.