7 – Маъруза. Чизиқлимас тенгламаларни ечиш

8)Ньютон методининг якинлашиши.
Оддий хакикий илдиз. Фараз киламиз
f(x)=0 (1)
тенглама оддий хакикий х_* илдизга эга булсин, f(x_*)=0 ва f'(x_*) 0
булсин. Фараз киламиз f(x) функция x_* илдизнинг етарлича якин атрофида икки марта узлуксиз хосилаларга эга булсин.
(2)
Ньютон методини тадкик этамиз. Энг аввал (2)- ни оддий итерация методининг хусусий холи сифатида караймиз:
(3)
(4)
Олдин, биз (3)- методнинг якинлашиши учун илдизнинг етарлича якин атрофида
(5)
тенгсизликнинг бажарилиши етарли эканлигини курсатган эдик.
(4)- функция учун

муносабат уринли.
Агар х_*, f(x) нинг илдизи булса, унда (x_*)=0 булади. Шу сабабли илдизнинг шундай атрофи борки (5) - тенгсизлик бажарилади. Демак x₀ бошлангич якинлашишни шундай танлаб олиш мумкинки Ньютон методи якинлашади. Бу якинлашиш оддий якинлашиш булмасдан у аслида квадратик якинлашишдир.
µуйидаги теорема Ньютон методининг квадратик якинлашувчи эканлигини курсатади.
1-теорема. Фараз киламиз х_* (1)-тенгламанинг оддий хакикий илдизи булиб
U_r(x_*)={x : |x-x_*|атрофда булсин. Фараз киламиз f(x) , U_r(x_*) атрофда узлуксиз ва
(6)
булиб ,
(7)
булсин. Унда агар x₀U_r(x_*) булса, (2)- Ньютон методи якинлашади ва хатолик учун
(8)
бахо уринли , бунда

Таянч иборалар :

Илдиз (ечим) .

Ораликни тенг иккига булиш .
Илдизларни ажратиш .
Илдизга кетма-кет якнлашиш .
Такрибий илдизнинг хатолиги .
Якинлашиш тезлиги .
Интерполяцион метод .

Текшириш саволлар :

Ечим нима ?

Такрибий ечиш нима ?
Хатолик нима ?
Итерацион метод нимадан иборат ?
Бисекция методи нимадан иборат ?
Оддий итерация методи кандай ?
Ньютон методи нимадан иборат ?
Интерполяция методи нимадан иборат ?
Якинлашиш кандай аникланади ?
µайси метод тез якинлашади ?

Адабиётлар :

А.А. Самарский , А.В. Гулин , Численные методы . Ук.Кул ., М., Наука ., 1989 М.И. Исраилов ., хисоблаш методлари , Тошкент , ´китувчи ., 1988 .