7 – Маъруза. Чизиқлимас тенгламаларни ечиш

7)Оддий итерация методининг якинлашиши.
(x)=0 (1)
тенгламани эквивалент
x= (x) (2)
куринишда ёзамиз ва x₀ дастлабки якинлашишни танлаб олиб
x_k+1= (x_k), k=0,1,… (3)
оддий итерацияни караймиз. (3)-итерация якинлашади деб айтилади, агар {x_k} кетма-кетлик k, лимитга эга булса. µуйидаги теоремада (2)-тенгламанинг ечими мавжудлиги ва ягоналигига кафолат берувчи шартлар баён килинади.
Агар тупламнинг ихтиёрий x , x нукталари учун
(4)
тенгсизлик бажарилса (x) функция тупламда Липщиц шартини каноатлантирувчи деб айтилади (ёки липщиц узлуксиз) келажакда х лар туплами сифатида
U_r(a) = (5)
маркази а- да булган узунлиги 2r га тенг кесма каралади.


Теорема. Агар (x) U_r(a) кесмада q(0,1) узгармасли липщиц узлуксиз булиб,
(6)
бажарилса, унда (2)- тенглама U_r(a) да ягона х_* ечимга эга булиб, (3)-итерацион кетма-кетлик ихтиёрий х₀U_r(a) учун х_* га якинлашади.
Хатолик учун
(7)
(тенгсизлик) бахо уринли булади.


Исбот. Энг аввал x_kU_r(a) k=1,2,.. эканлигини исбот киламиз. Фараз киламиз x_jU_r(a) булсин, x_j+1U_r(a) эканлигини исбот киламиз.

тенгликдан

эканлиги маълум булади.
Бундан липщиц - узлуксизликни, индукция фаразини ва (6)- ни инобатга олиб

яъни x_j+1U_r(a) эканлигини хосил киламиз.
Энди икки кушни x_j+1 ва x_j якинлашишлар орасидаги фаркни бахолаймиз.

ва барча x_j лар U_r(a) дан булганлиги учун

ёки
(8)

тенгсизлик хосил булади.
(8)- бахо {x_k} кетма-кетликни фундаментал эканлигини курсатишга имкон беради. хакикатдан хам p ихтиерий натурал сон булсин.
Унда

(8)- га асосан

яъни
(9)


бу тенгсизликдан k , унг томони нолга интиладиган булганлиги учун ва p- га боглик булмаганлиги учун {x_k} нинг фундаменталлиги келиб чикади.
Демак

(3)- да лимитга утиб ва (x) функциянинг узлуксизлигини хисобга олиб
x_*= (x_*)
эканлигига, яъни х_* илдиз эканлигига ишонч хосил киламиз. Фараз киламиз x_* (2)- нинг U_r(a)- га тегишли бошка бирор бир илдизи булсин. Унда
|x_*-x_*'|= |(x_*)- (x_*')|
ва теореманинг шартига кура
|x_*-x_*'| q|x_*-x_*'|.
Бунда q<1 булганлиги учун, охирги тенгсизлик x_* = x_*' булгандагина бажарилади, яъни ечим бирдан-бир эканлиги келиб чикади.
(7)- тенгсизликни исбот киламиз.
(3)- муносабатдан
x_k+1 - x_* = (x_k) - (x_*)
x_k ва x_*U_r(a) булганлиги учун
|x_k+1-x_*| q|x_k-x_*|
хосил булади. Бу тенгсизлик барча k=0,1,2,... учун бажарилади.
Шунинг учун

1-Изох. Агар бирор бир итерацион метод учун бажарилса, бунда qМ₁ k-га богликмас булса, унда итерацион метод чизикли q махражли геометрик прогрессия тезлигида якинлашади деб айтилади.

2-Изох. (9) - да k- ни танлаб олиб p- ни чексизга интилтирамиз,
унда

хосил булади. Бу тенгсизликнинг унг томонида x₁ ва х₀ якинлашишлар туради, q-маълум сон. Шу сабабли бу тенгсизликдан итерация жараёнини тухтатиш учун фойдаланиш кулайдир.
1-Натижа: Агар барчахU_r(a) учун
(12)
бажарилиб, (6) -шарт уринли булса ва х₀U_r(a) булса, (2)- тенглама бирдан бир х_*U_r(a) ечимга эга, (3)- метод якинлашади ва (7)- бахо уринлидир.
хакикатдан хам ,(12)-дан

2- Натижа. Фараз киламиз (2)- тенглама х_*- ечимга эга булсин, S(x) функция
U_r(x_*) = {x : |x-x_*| r} (13)
кесмада узлуксиз дифференциалланувчи ва | '(x_*)|<1 булсин. Унда шундай > 0 мавжудки U_r(x_*) кесмада (2)- тенглама бошка илдизга эга булмайди ва факат х₀U_r(x_*) булганда (3)- метод якинлашади.