7 – Маъруза. Чизиқлимас тенгламаларни ечиш

3)Ньютон методи.
Фараз киламиз бошлангич якинлашиш x₀ маълум бўлсин. f(x) функцияни Тейлор каторининг кесмаси билан алмаштирамиз.
(x) H₁(x) = (x₀) + (x₀)(x-x₀)
ва кейинги якинлашиш сифатида H₁(x) = 0 тенглама илдизини оламиз, яъни

килиб оламиз.
Умуман, агар x_k якинлашиш маълум бўлса, Ньютон методи бўйича x_{k+1 якинлашиши}
(7)
каби аникланади.
Ньютон методи, бошкача яна уринмалар методи хам деб айтилади, чунки x_k+1 нукта (x) функция графигининг (x_k, (x_k)) нуктасида ўтказилган уринманинг абсцисса ўки билан кесишган нуктасининг абсциссасидир. Бу методнинг якинлашиши кейинрок кўрсатилади. хозир бу методнинг ўзига хос хусусиятларини баён этамиз.
Биринчидан метод квадратик якинлашишга эга, яъни кейинги кадамдаги якилашиш хатолиги олдинги кадамдаги хатоликнинг квадратига пропорционал:
x_k+1 - x_* = O((x_k - x_*)²).
Иккинчидан методнинг бундай якинлашишига, бошлангич якинлашишнинг илдизга етарлича якин бўлгандагина кафолат берса булади. Агар бошлангич якинлашиш нокулай танланган бўлса, метод ё секин якинлашади, ё умуман якинлашмаслиги мумкин.


Ўзгартирилган Ньютон методи.
Агар (x) хосиланинг кийматини кўп марта хисоблашдан кутилмокчи бўлсалар, унда
(8)
формуладан фойдаланадилар.
Бу метод бошлангич якинлашишга унча кўп талаб кўймайди, лекин у секин, факат биринчи тартибли якинлашади. (10) – метод бўлганда нолга бўлиш содир бўлмаслигига кафолат беради.


4)Кесувчилар методи
Бу метод Ньютон методидан '(x_k) ни

чекли айирма билан алмаштиришдан хосил бўлади.
Натижада
(9)
икки кадамли итерацион метод хосил бўлади. (9) - методда олдин иккита бошлангич x₀ , x₁ якинлашишларни беришга тўгри келади. Бу методнинг геометрик талкини куйидагидан иборат: (x_k-1,x_k) ораликда y= (x) функция графиги (x_k-1 , (x_k-1)) ва (x_k, (x_k)) нукталардан ўтувчи тўгри чизик билан алмаштирилиб унинг абсцисса ўки билан кесишган нуктаси кейинги якинлашиш сифатида олинади.