7 – Маъруза. Чизиқлимас тенгламаларни ечиш

5)Интерполяция методи.
Интерполяция методларининг асосий гояси (x) функцияни бу функциянинг интерполяцион кўпхади билан алмаштириб бу интерполяцион кўпхад илдизларини аниклашдан иборат. Биринчи тартибли интерполяцион метод, бу кесувчилар методидан иборат. Иккинчи тартибли интерполяцион метод параболалар методи деб айтилади. Ньютон методи эрмит интерполяцион методидан келиб чикади.
Параболалар методининг формулаларини келтириб чикарамиз. Бунинг учун x_k-2,x_k-1,x_k якинлашишларни аниклаб Ньютоннинг иккинчи тартибли интерполяцион

P₂(x)= (x)+(x-x_k) (x_k,x_k-1)+(x-x_k)(x-x_k-1) (x_k,x_k-1,x_k-2),

кўпхадини курамиз. z_k = x-x_k деб белгилаб
az²+bz+c=0, (10)
бу ерда

a= (x_k,x_k-1,x_k-2), b= (x_k,x_k-1)+(x_k-x_k-1) (x_k,x_k-1,x_k-2), c= (x_k)

тенгламани хосил киламиз. (10)- тенгламани z₁ ва z₂ илдизларини топиб ва x⁽¹⁾=x_k+z₁ , x⁽²⁾=x_k+z₂ кийматларини хосил киламиз. Кейинги якинлашиш сифатида x⁽¹⁾, x⁽²⁾ лардан x_k га якин бўлганини оламиз. Парабола методи комплекс илдизларни топиш учун кулайдир.

6)Тескари интерполяциядан фойдаланиш


(x) га тескари булган x=(y) функцияни интерполяциялаш билан бир канча итерацион методларни хосил килиш мумкин.
Агар x_* , (x)=0 тенгламанинг илдизи булса , (0) =x_* булади. Шундай килиб x_* илдизни топиш (0) кийматни топишга олиб келинади. Фараз киламиз x_* илдизга x₀,x₁,...,x_k якинлашишлар маълум булсинлар. Унда y_i = (x_i) , i=0,1,...,k кийматларни хисоблаш мумкин ва y₀ ,y₁ ,...,y_k тугун нукталар берилган деб хисоблаш мумкин.
Улардан x₀=(y₀),x₁=(y₁) ,..., x_k=(y_k) маълум. (y_i,(y_i)), i=0,1,2,...,k нукталар билан L_k(y) интерполяцион купхад курилади ва x_k+1 якинлашиш сифатида L_k(0) олинади. Чизикли тескари интерполяция (k=1) кесувчилар методига олиб келади. (k=2) квадратик тескари интерполяция
x_k+1=x_k-x_k (y_k, y_k-1)+ x_k-1 x_k  (y_k, y_k-1, y_k-2)

парабола методидан фарк килувчи методга олиб келади. Юкорида баён килинган итерацион методлар берилган бошлангич якинлашишларда факат бирта илдизни топишга имкон берадилар. Бошка илдизларни топиш учун бошка бошлангич берилганлар олиш лозим.