7 – Маъруза. Чизиқлимас тенгламаларни ечиш

7 – Маъруза.
Чизиқлимас тенгламаларни ечиш.
Режа .

1. 
   Кириш .
   
2. 
   Оддий итерация методи.
   
3. 
   Ньтон методи .
   
4. 
   Ўзгартирилган Ньютон методи .
   
5. 
   Интерполяция методи .
   
6. 
   Тескари инерполяция методи .
   
7. 
   Оддий интерполиция методининг якинлашиши .
   
8. 
   Ньютон методининг якинлашиши .
   

1)Кириш.
хакикий ўзгарувчили узлуксиз f(x) функция берилган бўлсин.
f(x)=0 (1)
тенгламанинг илдизлари ёки y =f(x) функциянинг нолларини топиш талаб килинган бўлсин. Алгебраик кўпхадлар холида тенгламанинг, илдизлари комплекс булишини биламиз. Шунинг учун масалани яна хам аникрок кўйиш лозим. (1) - тенгламанинг комплекс текисликнинг бирор-бир сохасидаги илдизларини топинг деган масала кўйиш, яна хам аникрок бўлади. Масалани ечиш икки боскичдан иборатдир. Биринчи боскичда илдизларнинг жойлашиш сохаси аникланади ва уларни ажратишади, яъни хар бирида бирта илдизни ўз ичида сакловчи сохалар аникланади.Бундан ташкари яна каррали илдизлар ва уларнинг каррали сони аникланади. Шунинг билан бирга илдизларга бирор-бир бошлагич якинлашиш топилади. Иккинчи боскичда болангич берилганлардан фойдаланиб кидирилаётган илдизни аниклаштирувчи итерацион жараён курилади.
Ихтиёрий тенгламанинг илдизлари жойлашган сохани аниклайдиган бирор - бир яхши метод йўк.
Алгебраик тенгламалар илдизларининг жойлашишини аникловчи усуллар анча яхши ўрганилган ва бу методларнинг бир канчаси алгебра курсидан сизга маълум.
Чизиклимас тенгламаларни ечиш методлари асосан итерацион бўлиб, улар кидирилаётган ечимга (илдизга) етарлича якин бўлган бошлангич берилганнинг маълумлигини (берилишини) талаб киладилар.
Итерацион методларни ўрганишга ўтишдан олдин (1)-тенглама илдизларини ажратишнинг иккита содда методи билан танишамиз.
Биринчи метод: f(x) функциянинг x_{k[a,b], k=0,1,…,n,} нукталардаги f(x_k) кийматлари топилади. Агар k-нинг бирор-бир кийматида f(x_k)f(x_k+1)<0 бўлса, унда тенгламанинг (x_k,x_k+1) интервалда тенгламанинг энг камида бирта илдизи мавжудлиги маълум бўлади. Ундан сўнг бу оралик яна хам кичикрок бўлакларга ажратилиб илдизларнинг жойлашишлари аниклаштирилади.
хакикий илдизларни ажратишнинг анча содда усулларидан бири бисекция методидир. Фараз киламиз [a,b] ораликда бирта x_* илдиз жойлашган бўлсин. f(a)>0 , f(b)<0 бўлсин. деб, f(x₀) - ни хисоблаймиз. Агар f(x₀)<0 бўлса, илдиз (a,x₀), ораликда агар f(x₀)>0 бўлса илдиз (x₀,b) да жойлашган бўлади. Бундан сўнг икки интервалдан f(x) чегараларида турли ишорали кийматларни кабул киладиган интервални караймиз. Бу интервал ўртаси x₁ - ни топамиз. f(x₁) - ни хисоблаб юкоридаги жараённи такрорлаймиз. Натижада ўзларида x_* илдизни сакловчи, узунликлари хар гал икки баробар кискарадиган интервалларни хосил киламиз. Жараён интервалнинг узунлиги >0 дан кичик бўлгандан сўнг тўхтатилади ва x_* илдизнинг такрибий киймати килиб шу охирги интервалнинг ўртаси олинади. Агар (a,b) интервалда бир канча илдиз бўлса, уларнинг кайсисига якинлашишини билмаймиз.
Агар х_* илдиз m- каррали бўлса ва топилган бўлса унда бошка илдизни топиш

функция учун кайтарилади.