62-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi

62-ma’ruza

Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi
1⁰. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Faraz qilaylik, funksiya ochiq tо‘plamning har bir nuqtasida

xususiy hosilalarga ega bо‘lsin. Bu xususiy hosilalar о‘zgaruvchilarning funksiyasi bо‘lib, ular ham xususiy hosilalarga ega bо‘lishi mumkin:

.

Bu xususiy hosilalar berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari deyiladi va

kabi belgilanadi:

.

Agar bо‘lsa,

ikkinchi tartibli xususiy hosila aralash hosila deyiladi.

Agar bо‘lsa, ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

quyidagicha

yoziladi.

funksiyaning uchinchi, tо‘rtinchi va h.k. tartibdagi xususiy hosilalari xuddi yuqoridagiga о‘xshash ta’rif-lanadi. Umuman, funksiyaning о‘zgaruvchilari bо‘yicha -tartibli xususiy hosilasi berilgan funksiyaning – tartibli xususiy hosilasi

ning о‘zgaruvchi bо‘yicha xususiy hosilasi sifatida ta’riflanadi:

.

Bu holda ham lar bir-biriga teng bо‘lmaganda

aralash hosila deyiladi.

Agar bо‘lsa, – tartibli xususiy hosila-lar quyidagicha

yoziladi. Ushbu

aralash hosilalar funksiyaning turli о‘zgaruvchilari bо‘yicha differensiallash tartibi bilan farq qiladi:

da funksiyaning avval о‘zgaruvchisi bо‘yicha, sо‘ng о‘zgaruvchisi bо‘yicha xususiy hosilasi hisoblangan bо‘lsa,

da esa avval о‘zgaruvchisi bо‘yicha, sо‘ng о‘zgaruvchisi bо‘yicha xususiy hosilasi hisoblangan. Ular bir-biriga teng ham bо‘lishi mumkin, teng bо‘lmasdan qolishi ham mumkin (misollar keyingi punktda keltiriladi).

Aralash hisilalarning tengligini quyidagi teorema ifodalaydi.

1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtada marta differensiallanuvchi bо‘lsin. U holda nuqtada funksiyaning ixtiyoriy -tartibli aralash hosilalarning qiymati о‘zgaruvchilar bо‘yicha qanday tartibda differen-siallanishiga bog‘liq bо‘lmaydi.

◄Bu teoremaning isboti, keyingi punktda ikki о‘zgaruvchili funksiya uchun keltiriladigan teorema isboti kabi bо‘ladi.►