62-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi

3⁰. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differen-siallari. Biz yuqorida funksiyaning yuqori tartibli differensallarini bayon etdik. Unda funksiya argumenti lar erkli о‘zgaruvchilar edi.

Aytaylik, funksiyada о‘zgaruvchilarning har biri о‘zgaruvchilarning funksiyalari bо‘lsin .

Qaralayotgan va funksiyalar marta differensiallanuvchilik shartlarini bajargan deb, murakkab funksiyaning yuqori tartibli differen-siallarini hisoblaymiz.

Ma’lumki, differensial shaklning invariantligi xossasiga binoan, murakkab funksiyaning differensiali

bо‘ladi. Differensiallash qoidalaridan foydalanib funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini topamiz:

.

Demak,

(3)

Shu yо‘l bilan berilgan murakkab funksiyaning keyingi tartibdagi differensiallari topiladi.

1-eslatma. (1) va (3) formulalarni solishtirib, ikkinchi tartibli differensialarda differensial shaklning invariantligi xossasi о‘rinli emasligii kо‘ramiz.

2-eslatma. Agar funksiya argumentlari larning har biri о‘zgaruvchilarning chiziqli funksiyasi bо‘lsa, u holda funksiyaning ikkinchi tartibli (umuman, -tartibli) differensiali differensial shaklning invariantlik xossasiga ega bо‘ladi.

◄ Aytaylik,

bо‘lsin. U holda, ravshanki,

bо‘lib,

bо‘ladi. (3) formuladan foydalanib topamiz:

.

Bu esa ning (1) formula kо‘rinishiga ega ekanligini bildiradi.►