62-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi

2⁰. Yuqori tartibli differensialar. Faraz qilaylik, funksiya ochiq tо‘plamda berilgan, nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bо‘lsin.

1-ta’rif. funksiya differensiali ning differensiali berilgan funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi:

.

Endi funksiya ikkinchi tartibli differensialini uning xususiy hosilalari orqali ifodalanishini kо‘rsatamiz.

Ravshanki,

bо‘lib, u ga hamda larga bog‘liq bо‘ladi. Bu tenglikda larni tayinlangan deb hisoblab, ni о‘zgaruvchilarning funksiyasi siftaida qarab, uning differensialini topamiz:

Bunda simvollik ravishda yozilishidan foydalaniladi. U quyidagicha tushuniladi: qavs ichidagi yig‘indi kvadratga kо‘tarilib, sо‘ng ga "kо‘paytiriladi". Keyin daraja kо‘rsatkichlari xususiy hosilalar tartibi deb hisoblanadi. Demak,

. (1)

funksiyaning nuqtadagi uchinchi, tо‘rtinchi va h.k. tartibdagi differensiallari ham yuqoridagidek ta’riflanadi.

Umuman, funksiyaning nuqtadagi -tartibli differensiali ning differensiali ning -tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi:

.

Agar, funksiya nuqtada marta differensialanuvchi bо‘lsa, u holda

(2)

bо‘ladi.