62-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi

2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning atrofida

aralash hosilalarga ega bо‘lib, bu hosilalar nuqtada uzluksiz bо‘lsin. U holda funksiyaning aralash hosilalari nuqtada teng bо‘ladi:

◄Aytaylik, nuqta-lar nuqtaning atrofiga tegishli bо‘lsin:

.

Ushbu

,

funksiyalarni qaraylik

Ravshanki,

bо‘ladi. Bu tenglikning о‘ng tomoniga Lagranj teoremasini ikki marta qо‘llab topamiz:

Shartga kо‘ra aralash hosila nuqtada uzluksiz. Demak, da

bо‘lib,

(7)

bо‘ladi.

Endi funksiya bilan birga quyidagi

funksiyani qaraymiz. Ravshanki,

bо‘ladi. Yuqoridagidek, bu tenglikning о‘ng tomoniga Lagranj teoremasiini ikki marta qо‘llab, sо‘ng aralash hosilaning nuqtada uzluksizligidan foydalanib topamiz:

. Demak,

. (8)

(7) va (8) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi. ►

Mashqlar

1. Ushbu

funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali topilsin.

2. 
   Ushbu
   

funksiya quyidagi

tenglikni qanoatlantirishi isbotlansin.