6-Mavzu. Qattiq jism kinematikasi. Qattiq jismning eng sodda harakatlari

6-Mavzu. Qattiq jism kinematikasi. Qattiq jismning eng sodda harakatlari

Mavzuning rejasi

1. 
   Qattiq jismning ilgarilama harakati.
   

2.Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakati.

3.Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida burilish burchagi, burchakli tezligi va burchakli tezlanishinihisoblash.

4.Qo’zg’almas o’q atrofidagi tekis tezlanuvchan aylanma harakat.

5.Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida uning nuqtalarining kinematikasi.
Mavzuning maqsadi.Ushbu mavzuda qattiq jismlarning kinematikasi (harakati)ni o’rganish boshlanadi. Qattiq jismning ilgarilama va qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakatlarida uning istalgan nuqtasining tezlik va tezlanishlarini qanday aniqlash usullari ko’rsatib beriladi
Tayanch so’z va iboralar:Ilgarilama harakat, ilgarilama harakatdagi qattiq jismning nuqtalarini tezligi va tezlanishi,qo’zgalmas o’q atrofidagi qattiq jismning aylanma harakati, burchakli tezlik, burchakli tezlanish, tekkis o’zgaruvchan aylanma harakat qonuni, aylanma harakatdagi nuqtaning chiziqli tezligi va chiziqli tezlanishi.

Bayoni:

Qattiq jismlarning harakatlarini o’rganishdan oldin, statika qismida ko’rilganidek, ularni absolyut qattiq deb faraz qilinadi, ya`ni ularning har qanday harakatlarida ham ularda olingan ixtiyoriy ikkita nuqta orasidagi masofa o’zgarmas bo’lib qoladi.

Qattiq jism kinematikasida ikkita asosiy masala ko’riladi:

1. 
   Qattiq jismning butunligicha qilayotgan harakatini o’rganish,
   
2. 
   Qattiq jismning harakatida unda olingan ixtiyoriy nuqtaning traektoriyasi, tezlik va tezlanishlarini aniqlashdan iborat bo’ladi.
   

1.Qattiq jismning ilgarilama harakati.
Avvalo ilgarilama harakatning tarifini o’rganaylik. Ilgarilama harakat deb shunday harakatga aytiladiki, harakat davomida qattiq jismda ixtiyoriy olinganto’g’richiziq har doim o’z - o’ziga parallel xolatda ko’chadi.

Ilgarilama harakatdagi qattiq jismning nuqtalarining traektoriyalarito’g’riyoki egri chiziqlardan iborat bo’lishlari mumkin. Masalan ilgarilama harakatlanuvchi poezd vagonining nuqtalarining traektoriyalarito’g’richiziqlardan iborat bo’ladi, lekin velosiped pedalining nuqtalarining traektoriyalari egri chiziqlardan iborat bo’ladi va hokazo.

Ilgarilama harakatga boshqacha tarif ham berish mumkin. Masalan, qattiq jismning harakatida uning barcha nuqtalarining traektoriyalari bir xil bo’lsa, bunday harakat ilgarilama harakat deyiladi. Xaqiqatdan ham har qanday ilgarilama harakatda uning ixtiyoriy nuqtalarining traektoriyalari bir xil bo’lib, ularni ustma ust qo’yilsa bir birini yopadi.

6.1.shakl

Endi qattiq jismning ilgarilama harakatida uning nuqtalarining tezlik va tezlanishlarini aniqlashni ko’rib chiqamiz. Buning uchun qattiq jismda ixtiyoriy ikkita A va V nuqtalar tanlab olaylik, ularning radius vektorlari tegishlicha r_A va r_B bo’lsin.

A nuqtaning harakati orqali V nuqtaning harakatini aniqlash uchun qo’yidagi vektor tenglamani yozaylik, ya`ni

(6.1)

bo’ladi. V nuqtaning tezligini aniqlash uchun (11.1) vektor tenglamadan vaqt bo’yicha bir marta hosila olamiz,

(6.2)

Lekin absolyut qattiq jismda olingan har qanday AV kesma, o’zining uzunligini (modulini) o’zgartirmasligi va harakat ilgarilama bo’lganligi sababli , ya`ni 6.1 shakldan ko’rinib turgandek AV kesma doimo o’z-o’ziga parallelligini saqlab qolishini etiborga olsak, oxirgi yigindi nolga teng bo’ladi, ya`ni bo’ladi, shu sababli (6.2) tenglamadan qo’yidagini olamiz,

(6.3)
(6.3) formuladan ko’rinib turibdiki, ilgarilama harakatdagi har qanday jismning barcha nuqtalarining tezlik vektorlari birxil bo’lar ekan.

Tezlanishni aniqlash uchun (6.3) tenglikdan vaqt bo’yicha bir marta hosila olamiz,

(6.4)

Demak ilgarilama harakatdagi qattiq jismning barcha nuqtalarining tezlanish vektorlari ham bir xil bo’lar ekan.

Ushbu ikki qoida orqali, shuni aniqladdikki, ilgarilama harakatdagi qattiq jismning birorta nuqtasini tezligini bilish barcha nuqtalarning tezligini bilishga teng ekan. Xuddi shunday qoida tezlanishlar uchun ham o’rinlidir.
2.Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakati.
Faraz qilaylik birorta qattiq jism qo’zgalmas Oz o’qi atrofida aylanma harakat qilayotgan bo’lsin. Yuqorida takidlaganimizdek bizning asosiy vazifamiz, jismning shu harakatining umumiy kinematik harakteristikalarini o’rganish va shu jism nuqtalarining kinematik harakteristikalarini o’rganishdan iborat bo’ladi.

Qattiq jismning qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakatining umumiy kinematik harakteristikalari deb, uning qaysi nuqtaligidan qatiy nazar, ya`ni hamma nuqtalari uchun bir xil bo’lgan kinematik harakteristikalariga aytiladi. Ular uchta parametrdan iborat bo’lib, burilish burchagi, burchakli tezlik va burchakli tezlanishdan iboratdir.

Qattiq jismning shunday harakatida unda olingan ayrim nuqtalarining kinematik harakteristikalariga ham uchta parametrlar kiradi. Bular: ixtiyoriy olingan nuqtaning ma`lumvaqt oraligidagi bosib o’tgan yo’li, uning chiziqli tezligi va chiziqli tezlanishidan iborat bo’ladi.

Agar biz yuqoridagi oltita parametrlarni ixtiyoriy olingan vaqt uchun aniq xisoblab beraolsak, shu qattiq jismning qo’zgalmas o’q atrofidagi harakatining kinematikasini batamom o’rgangan xisoblanamiz.

3.Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida burilish burchagi, burchakli tezligi va burchakli tezlanishinihisoblash.
Qattiq jismning qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakati qo’yidagicha tariflanadi: Agar qattiq jismning harakati davomida uning ixtiyoriy olingan ikki nuqtasi har doim (harakatsiz) qo’zgalmas qolsa, bunday harakat qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakat deyiladi

6.2 shakl.

6.2a shakldan ko’rinib turibdiki, bunday qo’zgalmas nuqtalar A va S nuqtalardan iborat bo’lib, shu nuqtalarni kesib o’tuvchi o’q aylanish o’qi deyiladi. Shaklda ikkita tekislik ko’rsatilgan bo’lib, ulardan biri I tekislik qo’zgalmas, II tekislik jism bilan birgalikda harakatlanadi. I tekislikka nisbatan II tekislik jism bilan birgalikda Az o’q atrofida ma`lum burchakka burilsa, bunday harakat aylanma harakat deyiladi,  burilish burchagi deyiladi va radianlarda o’lchanadi.

Ixtiyoriy olingan vaqt uchun, jism necha radianga burilganligi ifodalovchi funtsiya, qattiq jismning aylanma harakatining qonuni deyiladi, va qo’yidagicha yoziladi

 qf(t) (6.5)

Agar t - vaqt ichida, qattiq jism  burchakka burilgan bo’lsa o’rtacha burchakli tezlik deb, burilish burchagini shu burilish uchun sarflangan vaqtga nisbatiga aytiladi, va yunoncha -  (omega) harfi bilan belgilanish qabul qilingan, ya`ni

xaqiqiy burchakli tezlikni aniqlash uchun, burilish burchagining funktsiyasidan vaqt bo’yicha bir marta hosila olish lozim bo’ladi, ya`ni

(6.6)

Etibor bergan bo’lsangiz, burilish burchagi -  va burchakli tezlik - lar vektor shaklida ifodalangan, xaqiqatdan ham ular vektor qiymat bo’lib, ularning uchlaridan qaraganimizda qattiq jism soat strelkasiga teskari yo’nalishda aylanma harakat qilayotgan bo’lishi shart, aks holda ular manfiy ishoralar bilan belgilanadi.

Burilish burchagi vektori - , va burchakli tezlik vektori - aylanish o’qida yotadilar, va hardoim bir tomonga yo’nalgan bo’ladilar.

Agar qattiq jism bir xil o’zgarmas tezlik bilan harakatalanayotgan bo’lsa, ya`ni qconst bo’lsa, burchakli tezlanish bo’lmaydi, agarda burchakli tezlik o’zgaruvchan bo’lsa, ya`ni const bo’lsa burchakli tezlanish paydo bo’ladi, va uni yunoncha -  (epsilon) harfi bilan belgilash qabul qilingan.

Burchakli tezlanish vektori, burchakli tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi hosilaga yoki burilish burchagidan olingan ikkinchi hosilaga teng bo’ladi, ya`ni

(6.7)

formulalar orqali ifodalanadi.

Burchakli tezlanish vektorining yo’nalishi ikki xil bo’ladi, agar harakat tezlanuvchan bo’lsa >0 bo’ladi va burchakli tezlik vektori bilan bir tomonga yo’naladi (6.2b shakl), agar harakat sekinlanuvchan bo’lsa <0 bo’ladi, va burchakli tezlik vektoriga qarama qarshi tomonga yo’naladi (6.2s shakl).
4.Qo’zg’almas o’q atrofidagi tekis tezlanuvchan aylanma harakat.
Biz yuqorida qattiq jismning qo’zgalmas o’q atrofidagi harakatida uning umumiy kinematikasini ko’rib o’tdik, ya`ni agarda harakat qonuni  qf(t) berilgan bo’lsa, uning burchakli tezlik va burchakli tezlanishlarini qanday aniqlash usullarini batafsil ko’rib o’tdik.

Endi biz teskari masalani ko’rib o’taylik, ya`ni qattiq jismning qo’zgalmas o’q atrofidagi harakatining burchakli tezlanishi berilgan bo’lsa, uning burchakli tezligi va burilish burchagining qonunini qanday aniqlashni o’rganaylik.

Aksariyat masalalarda burchakli tezlanish beriladi, biz uni qanday aniqlashni keyinchalik dinamika qismida batafsil o’rganamiz, lekin xozirda ushbu burchakli tezlanish berilgan faraz qilaylik, va u o’zgarmas qiymatdan iborat bo’lsin, ya`ni qsonst bo’lsin. U holda burchakli tezlikni aniqlash uchun, uni bir marta integrallashimiz lozim,

bu yerda S₁ - integral doimiysi, uni aniqlash uchun burchakli tezlikning boshlangich qiymati berilgan bo’lishi shart, tq0 c. vaqtdagi burchakli tezlik - _o ga teng bo’lsin. U holda bularni oxirgi tengalamaga qo’yib S₁ -ni qiymatini aniqlaymiz, shunga ko’ra burchakli tezlikning funktsiyasi qo’yidagicha yoziladi,

q_o Q t (6.8)

Burilish burchagining qonunini yoki aylanma harakat qonunini aniqlash uchun oxirgi tenglamani yana bir marta integrallash lozim,

bu yerda _o va  - lar o’zgarmas bo’lganligi uchun, ularni intgraldan tashqariga chiqarib integrallaymiz, ya`ni

.

Integral doimiysi S₂- aniqlash uchun burilish burchagining boshlangich qiymati berilgan bo’lishi shart, ya`ni tq0 c. dagi <sub>o</sub> - odatda ma`lumbo’ladi, bularni oxirgi tenglamaga qo’ysak S₂q_o ekanligini aniqlaymiz, u holda qattiq jismning tekis o’zgaruvchan aylanma harakatining qonuni qo’yidagicha yoziladi,

. (6.9)

(6.8) va (6.9) formulalar, tekis o’zgaruvchan aylanma harakatdagi qattiq jismning harakat qonunlari deyiladi.

5.Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida

uning nuqtalarining kinematikasi.
Biz oldingi maruzada faqat erkin nuqtaning kinematikasini ko’rib o’tgan edik, endi biz boglanishdagi nuqtaning kinematikasini ko’rib o’tamiz. Bu yerdagi barcha nuqtalarga qo’yilgan boglanishlar sababli, ularning har biri faqat shu bitta qo’zgalmas o’q atrofida aylanma harakat qiladilar xolos. Shunga ko’ra ularning har birini harakatining traektoriyalari shakl jixatdan bir xil formada, ya`ni aylanalardan iborat bo’lib, bir birlaridan faqat radiuslari bilan farqlanadilar.

Demak qo’zgalmas o’q atrofida aylanma harakatdagi qattiq jismning barcha nuqtalarining traektoriyalari, tegishli radiusli aylanalardan iborat bo’lar ekan.

Endi shunday harakatdagi qattiq jism nuqtalarining chiziqli tezlik va chiziqli tezlanishlarini aniqlaylik. Qattiq jismda birorta ixtiyoriy nuqta olaylik va uning boshlangich holatini M_o - bilan belgilaylik, so’ngra dt - vaqt o’tgandan keyingi holatini M₁ - bilan belgilaylik, u holda shu nuqtaning umumiy bosib o’tgan yo’li dsqhd ga teng bo’ladi.

11.3 shakl.

U holda bu nuqtaning chiziqli tezligi qo’yidagicha aniqlanadi, ya`ni va bo’lgani uchun demak, qo’zgalmas o’q atrofida aylanayotgan qattiq jism nuqtalarining chiziqli tezligi,

(6.10)

formula bilan ifodalanar ekan, bu yerda h- nuqtaning aylanish o’qigacha bo’lgan masofasi, ya`ni radiusi. Chiziqli tezlik vektorining yo’nalishi doimo nuqtaning traektoriyasiga urinma holda yo’naladi.

Aslida o’zgarmas radius rqconst, bo’lgan vektorning aylanma harakatidagi elementar o’tilgan yo’l ham vektor qiymat bo’lib (6.3 shakl),

(6.11)

shu nuqtaning chiziqli tezlik vektorini aniqlash uchun (6.11) tenglikni dt - ga nisbatini olish kerak,

yoki

(6.6)

ya`ni, burchakli tezlik vektorini nuqtaning radius vektoriga vektor ko’paytmasi nuqtaning chiziqli tezlik vektoriga deyiladi. Ushbu (6.6) formulani Eyler formulasi deyiladi.

Masalalar yechganimizda,

Vqr (6.6a)

formuladan foydalaniladi, bu yerda r - aylanish radiusi,

Qo’zgalmas o’q atrofida aylanayotgan qattiq jism nuqtalarining tezlanishlari ikkita vektor yigindidan iborat bo’ladi, ulardan biri urinma - tezlanish vektori, ikkinchisi normal - tezlanish vektorlardan iborat bo’ladi. Buni aniqlash uchun (6.6) tengalamadan vaqt bo’yicha bir marta hosila olish lozim,

va

lar bilan belgilab chiqsak,

(6.13)

bu yerda

- urinma tezlanish, (6.14)

- normal tezlanishdan iborat. (6.15)

Nuqta kinematikasidagi maruzada ko’rganimizdek, urinma tezlanishning moduli

(6.16)

Normal tezlanishning moduli esa, qo’yidagi formula bilan aniqlanadi,

bu yerda R- nuqtaning aylanish radiusi, demak

(6.17)

Yuqoridagilarga asosan, aylanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining to’liq tezlanishi,

(6.18)

formula bilan aniqlanadi.

MASALA. 6.4 shaklda radiusi -r₁ ga teng bo’lgan I tishli gildirak, radiusi - r₂ ga teng bo’lgan II tishli gildirak bilan tashqi tishlashuv orqali boglangan. 1 nchi gildirak ₁ - burchakli tezlik va ₁ - burchakli tezlanish bilan aylanma harakat qilmoqda. II gildirakning burchakli tezligi - ₂ va burchakli tezlanishi - ₂ , va shu gildiraklarning tutashgan nuqtasining urinma va normal tezlanishlarini aniqlansin.

Echish. Tishli gildiraklarning tutashgan nuqtalarining tezliklari hardoim bir biriga teng bo’ladi, shu sababli ulardan vaqt bo’yicha olingan birinchi hosila shu nuqtaning urinma tezlanishini beradi, shu sababli ushbu nuqtaning urinma tezlanish vektori ham nolga teng bo’ladi.

11.4 shakl.

Tutashgan nuqtalardagi tezliklarning modullarini tengligidan, qo’yidagi tenglamani yozamiz,

vqr₁₁q r₂₂

bundan, ikkinchi gildirakning burchakli tezligini topamiz,

(6.a)

lekin ikkinchi gildirakning aylanishi birinchi gildirakning aylanishiga teskari yo’nalgan bo’ladi. Urinma tezlanishlar esa bir tomnga yo’nalgan bo’ladi,

(6.b)

Ikkala gildirakning tutashgan nuqtalaridagi normal tezlanishlarni aniqlaymiz, ular harxil bo’ladi va yo’nalishlari o’zaro qarama qarshi bo’lib, bir to’g’ri chiziqda yotadilar,

(6.c)
Savollar:

1. 
   Ilgarilama harakat deb qanday harakatga aytiladi?
   
2. 
   Ilgarilama harakatdagi qattiq jism nuqtalarining tezlik vektorlari o’zaro qanday munosabatda bo’ladi?
   
3. 
   Ilgarilama harakatdagi qattiq jism nuqtalarining tezlanish vektorlari o’zaro qanday munosabatda bo’ladi?
   
4. 
   Qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakatdagi qattiq jismning harakat qonunini yozib bering?
   
5. 
   Qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakatdagi qattiq jismning burchakli tezligi deb nimaga aytiladi va u qanday aniqlanadi?
   
6. 
   Qo’zgalmas o’q atrofidagi aylanma harakatdagi qattiq jismning burchakli tezlanishi qanday aniqlanadi?
   
7. 
   Tekis o’zgaruvchan aylanma harakatdagi qattiq jismning harakat qonunini yozib bering?