6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

11.21-masala. 



1
n
n
a
qator 

ning qanday qiymatlarida 
yaqinlashishini aniqlang. 


.
1
2
1
2
ln
1






n
n
n
n
a
n

 

 

















n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
1
1
1
1
1
*
 
va 
.
1
0
1
0
1
2
2
1
ln
1
2
1
2
ln
2
1
*
*
































n
a
n
n
n
n
n
Agar 
2
1
1



n
b
n
deb belgilasak, 



1
n
n
b
qator 
,
1
2
1



ya`ni 
0


bo`lganda 
yaqinlashadi. 




1
n
n
a
qator ham 
0


da yaqinlashadi.

12.21-masala. 
 





1
1
5
4
1
n
n
n
n
tg

 qatorni yaqinlashishga tekshiring. 

 
Bu qator ishorasi almashinuvchi qator bo`lib, uning 
yaqinlashishini Leybnis alomatidan foydalanib, ko`rsatish mumkin. 
1
5
4


n
n
tg
a
n

deb belgilasak 
1) 
N
n


uchun 
0
1



n
n
a
a
, ya`ni 
 

n
a
 
 
va
2) 
0
1
5
4
1
4
4
lim
lim









n
n
n
n
tg
a
n
n
n



---

191 
bo`ladi 

Leybnis alomatiga ko`ra berilgan qator yaqinlashuvchi. 

13.21-masala. Quyidagi
 














1
4
2
1
1
ln
4
3
n
n
n
n
n
n
 
qatorning absolut yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang. 

 












n
n
n
n
a
n
n
1
1
ln
4
3
4
2
deb belgilaymiz. Unda quyidagi 
munosabatlar o`rinli bo`ladi. 
n
n
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a










 




2
4
2
2
4
2
2
1
3
1
1
ln
4
3







1
1
2
2
n
n
n
n
b
qator yaqinlashuvchi 

taqqoslash alomatiga ko`ra 



1
n
n
a
yaqinlashuvchi, ya`ni berilgan 



1
n
n
a
qator absolut yaqinlashuvchi.

 
14.21-masala. Quyidagi 







1
1
cos
2
ln
ln
2
sin
n
n
n
n
 
qatorni yaqinlashishga tekshiring. 
 

Bu qatorning yaqinlashishini Abel alomati yordamida aniqlaymiz: 
n
a
n
1
cos

va 


2
ln
ln
2
sin


n
n
b
n
deb belgilab, Abel teoremasining shartlari 
bajarilishini tekshiramiz: 
1)
 







n
a
n
1
cos
ketma-ketlik monoton (monoton o`suvchi) va 
chegaralangan 








1
1
cos
0
n
; 
2)










1
1
2
ln
ln
2
sin
n
n
n
n
n
b
qator 
Dirixle 
alomatiga 
ko`ra 
yaqinlashuvchi bo`ladi. Darhaqiqat, agar


2
ln
ln
1



n
a
n
va 
n
b
n
2
sin

deb belgilasak, 

---

192 
a) 
 


n
a
va 


,
0
2
ln
ln
1
lim
lim








n
a
n
n
n
b) 












n
k
n
k
k
n
n
n
k
b
B
1
1
1
sin
sin
1
sin
2
sin
chegaralangan bo`ladi 








1
sin
1
n
B
Dirixle alomatiga ko`ra 



1
n
n
b
qator yaqinlashuvchi.
Shunday qilib, berilgan qator uchun Abel teoremasining shartlari bajarilar 
ekan 











1
1
1
cos
2
ln
ln
2
sin
n
n
n
n
n
n
n
b
a
qator yaqinlashuvchi.

Izoh. 
Bu misolni yechishda elementar matematika kursidan ma`lum 
bo`lgan ushbu









n
k
Z
m
m
n
n
k
1
,
2
,
2
sin
2
sin
2
1
sin
sin






formuladan foydalanildi.
 
 
15.21-masala. Ushbu



1
cos
n
n
n

 
qator 

 ning qanday qiymatlarida
 
a) absolut yaqinlashuvchi, 
 
b) shartli yaqinlashuvchi bo`lishini aniqlang. 
 

 
Birinchi navbatda berilgan qator
 

 
ning qanday qiymatlarida 
yaqinlashuvchi 
bo`lishini 
aniqlaymiz. 
Bunda 
Dirixle 
alomatidan 
foydalanamiz. Agar

n
a
n
1

 
va 
n
b
n
cos

deb belgilasak 
1)
0


bo`lganda 
 

n
a
va 
,
0
1
lim
lim







n
a
n
n
n
2)






n
k
k
n
n
n
b
B
1
2
1
sin
2
cos
2
1
cos
va 
2
1
sin
1

n
B
bo`ladi. 

Dirixle 
alomatiga ko`ra 







1
1
cos
n
n
n
n
n
n
b
a

qator 
0


bo`lganda yaqinlashadi. 
0


bo`lganda esa bu qator uzoqlashadi, chunki 
0


bo`lganda qator 
yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. 

---

193 
Endi qatorni absolut yaqinlashishga tekshiramiz .


n
n
n
1
cos

va 



1
1
n
n

umumlashgan garmonik qatorning 
1


da yaqinlashuvchi 
bo`lishidan 
1


da 



1
cos
n
n
n

qatorning yaqinlashishini hosil qilamiz. 
Endi 
1
0



bo`lganda berilgan qatorning absolut yaqinlashuvchi 
emasligini, ya`ni 



1
cos
n
n
n

qatorning uzoqlashishini ko`rsatamiz. 





n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
cos
2
1
2
2
cos
1
cos
cos
2





tengsizlik 
hamda 



1
2
2
cos
n
n
n

qatorning 
Dirixle 
alomatiga 
ko`ra 
yaqinlashuvchi bo`lishi va 



1
2
1
n
n

qatorning uzoqlashuvchi ekanligidan 




1
2
2
cos
1
n
n
n

qatorning ham uzoqlashuvchi ekanligini, taqqoslash alomatiga 
ko`ra 



1
cos
n
n
n

qatorning uzoqlashuvchiligini hosil qilamiz. 
Shunday qilib, 



1
cos
n
n
n

qator
a) 
1


da absolut yaqinlashuvchi,
b) 
1
0



da shartli yaqinlashuvchi bo`lar ekan.

16.21-masala. Quyidagi 
 












1
1
1
1
n
p
n
n
 
cheksiz ko`paytmani absolut va shartli yaqinlashishga tekshiring. 
 
 
.
1
1
1
1
1
1
p
n
n
n
p
n
n
n
a
a
n
P










 
0
4
 
punktga ko`ra berilgan 
cheksiz ko`paytma absolut yaqinlashuvchi bo`lishi uchun 



1
n
n
a
qatorning 
absolut yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarli. 

---

194 




1
n
n
a
 















1
1
1
.
1
,
,
1
,
1
1
n
n
p
p
n
p
chi
uzoqlashuv
p
vchi
yaqinlashu
n
n
Cheksiz ko`paytmani shartli yaqinlashishga tekshirishda 4
0
- 
punktdagi 5-teoremadan foydalanamiz. 
Unga ko`ra cheksiz ko`paytma yaqinlashuvchi bo`lishi uchun 



1
n
n
a
qator 
yaqinlashuvchi bo`lgan holda 



1
2
n
n
a
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi 
zarur va yetarli edi. 
 








1
1
1
n
p
n
n
n
n
a
qator 
0

p
bo`lganda Leybnis alomatiga ko`ra 
yaqinlashadi. 







1
2
1
2
1
n
p
n
n
n
a
qator esa 
2
1

p
da yaqinlashadi, 
2
1

p
da esa 
uzoqlashadi. 
Shunday qilib, berilgan 
 












1
1
1
1
n
p
n
n
cheksiz ko`paytma 
a) 
1

p
da absolut va 
b) 
1
2
1


p
da shartli yaqinlashadi.


---

195