6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

 
10.19 
 


0
!
1
2
3
lim




n
n
n
n
. 
10.20 


0
!
!
3
2
lim




n
n
n
n
.
 
10.21 


0
!
!
1
2
lim




n
n
n
n
.

 

---

181 
11-masala. 



1
n
n
a
 
qator 

 
ning 
qanday 
qiymatlarida 
yaqinlashishini aniqlang. 
11.1 
.
1
sin
1






 

n
n
a
n
 
11.2 




..
ln
2
1
ln
2
n
n
n
a
n




 
11.3 
.
1
1
ln
1












 


n
n
arctg
a
n
 
11.4 
.
1
1
3
2
3
2

n
n
n
a
n




 
11.5 
.
1
1











n
tg
n
e
a
 
11.6 
.
1
cos
1
sin
1
















n
n
n
a
n
 
11.7 
.
1
1
1
cos
1












n
e
a
n
n
n
 
11.8 
.
1
ln
1
ln















n
tg
n
arctg
a
n
 
11.9 
.
1
cos
2












n
n
n
n
a
n
 
11.10 
.
1
2
sin
1
2
2











n
n
a
n
 
11.11 
.
1
1
sin





 


n
arctg
n
n
a
n

 
11.12 
.
1
cos
1
1

















n
n
n
a
 
11.13 
.
1
cos
2
2
1











n
e
a
n
n
 
11.14 
.
1
cos
1
1
1
2





 













 


n
n
e
a
n
n

 
11.15 
.
1
sin
ln
ln









n
n
a
n
 
11.16 
.
2
1
1
4
2












n
n
n
a
n
 
11.17 
.
2
,
1
2
1
1
ln






n
n
n
n
a
n

 
11.18 
.
1
ln
1










n
n
n
a
n
 
11.19 
.
3
1
cos
1
sin









n
n
n
a
n
 
11.21 


.
1
2
1
2
ln
1






n
n
n
n
a
n

 
11.20 
.
2
2
cos
2
2













n
n
n
a
n
 
 

---

182 
12-masala. Yaqinlashishga tekshiring. 
12.1 
 










1
1
.
1
1
2
1
n
n
n
n
n
 
12.2 
 













1
1
.
1
2
1
n
n
n
n
n
 
12.3 
 








2
1
.
1
ln
1
n
n
n
 
12.4 
 








3
.
ln
ln
ln
1
n
n
n
n
n
 
12.5 
 







2
2
4
2
.
1
2
1
n
n
n
n
n
 
12.6 
 








3
.
ln
1
1
n
n
n
n
 
12.7 
 








3
.
1
ln
1
n
n
n
n
 
12.8 
 







1
4
1
.
3
2
1
n
n
n
n
 
12.9 
 






1
.
1
3
2
sin
1
n
n
n
n

 
12.10 
 





1
.
6
cos
1
n
n
n

 
12.11 
 
 





1
.
2
ln
1
n
n
n
n
 
12.12 
 





1
.
1
1
n
n
n
tg
 
12.13 
 









1
2
1
.
2
1
1
n
n
n
n
 
12.14 
 






1
3
.
ln
3
3
cos
1
n
n
n
n
n

 
12.15 
 















1
1
.
2
3
1
1
n
n
n
n
 
12.16 
 






1
.
3
1
2
1
n
n
n
n
 
12.17 
  










1
.
4
ln
3
1
n
n
n
n
 
12.18 
 









0
2
2
.
2
1
2
1
n
n
n
n
 
12.19 
 






1
3
.
1
1
n
n
n
n
 
12.20 
 
 





1
.
sin
1
n
n
n
n
n
n
 
12.21 
 






1
.
1
5
4
1
n
n
n
n
tg

 
 
13-masala. Quyidagi qatorlarning absolut yaqinlashuvchi 
ekanligini isbotlang.
 
 
13.1 








1
3
7
.
4
3
2
cos
1
n
n
n
n
n
 
13.2 









 
1
6
.
sin
1
1
ln
n
n
n
arctg
n
 

---

183 
13.3 
 










 



1
2
.
1
cos
1
1
ln
1
n
n
n
n
 
13.4 












1
3
.
2
4
2
sin
n
n
n
n

 
13.5 
 






1
4
6
.
1
3
2
n
n
n
n
n
arctg
 
13.6 









1
3
.
3
ln
2
4
cos
n
n
n
n

 
13.7 
 






1
2
1
.
2
ln
1
n
n
n
n
 
13.8 
 





1
5
4
arcsin
1
n
n
n
n

. 
13.9 
.
2
1
cos
3
1
3






n
n
arctg
n
n
 
13.10 
.
sin
1
3
n
n
e
n
n





 
13.11 
 
 




1
.
!
2
n
n
n
n
 
13.12 
   








1
.
1
!
!
2
1
n
n
n
n
n
 
13.13 
 









1
2
.
1
1
1
n
n
n
n
n
n
 
13.14 

















1
.
cos
1
cos
1
sin
1
n
n
n
n
n
 
13.15 
 











1
3
2
2
1
.
3
2
1
n
n
n
n
n
n
n
 
13.16 
 












1
1
arcsin
1
1
n
n
n
n
arctg
 
13.17 
 













1
2
.
2
ln
1
ln
3
sin
1
n
n
n
n
n
n
 
13.18 
 




1
3
.
2
1
1
n
n
n
arctg
n
 
13.19 


















1
3
2
3
2
.
sin
sin
sin
n
n
n
n
n
 
13.20 
.
cos
3
1
2
n
n
e
n
n






 
13.21 
 
.
1
1
ln
4
3
3
2
1















n
n
n
n
n
n
 
 
14-masala. Quyidagi qatorlarni yaqinlashishga tekshiring. 
14.1 
 
 







1
2
1
.
1
1
n
n
n
n