6-§. 5-mustaqil ish. Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari. Cheksiz ko`paytmalar

5-Teorema.
 
(Dalamber alomati). 
Agar (7)-qator uchun
.
lim
1
d
a
a
n
n
n




 
bo`lib, 
1)
 
1

d
 bo`lsa, qator yaqinlashuvchi; 
2)
 
1

d
 bo`lsa, qator uzoqlashuvchi 
bo`ladi. 
6-Teorema. (Koshi alomati). 
Agar (7)-qator uchun
q
a
n
n
n



lim
 
bo`lib, 
1) 
1

q
 bo`lsa, qator yaqinlashuvchi; 
3)
 
1

q
 bo`lsa, qator uzoqlashuvchi 
bo`ladi. 
 
Izoh. 
5 va 6-teoremalardagi 
d
va 
1

q
bo`lsa, qator uzoqlashuvchi 
ham, yaqinlashuvchi ham bo`lishi mumkin. Masalan, 



1
1
n
n
garmonik qator 
uchun 
1


q
d
va qator uzoqlashuvchi; 



1
2
1
n
n
umumlashgan garmonik 
qator uchun ham 
1


q
d
, lekin qator yaqinlashuvchi. 

---

166 
 
7-Teorema. (Raabe alomati). 
Agar (7)-qator uchun













n
n
n
a
a
n
1
1
lim

(11) 
bo`lib, 
1)
 
1


 
bo`lsa, qator yaqinlashuvchi; 
2)
 
1


 bo`lsa, qator uzoqlashuvchi 
bo`ladi. 
 
8-Teorema. (Gauss alomati). 
Agar (7)-qator uchun









1
1
n
n
a
a
n
n
n

(12) 
c
n


 va 
0


 bo`lib 
1)
 
1


 bo`lsa, qator yaqinlashuvchi; 
2)
 
1


 va 
1


 bo`lsa, qator yaqinlashuvchi; 
3)
 
1


 va 
1


 bo`lsa, qator uzoqlashuvchi; 
4)
 
1


 bo`lsa, qator uzoqlashuvchi 
bo`ladi. 
 
9-Teorema. (Koshining integral alomati). 
Faraz qilaylik, 
 
x
f
 
funksiya 



;
1
oroliqda aniqlangan bo`lib, 
 
0

x
f
va monoton 
kamayuvchi bo`lsin. U holda
 



1
n
n
f
 
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
 


1
dx
x
f
 
integralning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarli. 
3
0
 Ixtiyoriy hadli qatorlar va ularning yaqinlashishi 
Bizga biror 



1
n
n
a

(13)
 

---

167 
qator berilgan bo`lsin. Agar bu qatorning hadlari 

ishorani qabul qilishi 
mumkin bo`lsa, bunday qatorga 
ixtiyoriy hadli qator
 (yoki 
ixtiyoriy qator
) 
deyiladi
. 
1-Ta`rif. 
Agar



1
n
n
a

(14) 
qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (13)-qator 
absolut yaqinlashuvchi 
qator deyiladi. 
 
1-Teorema.
Agar (14)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, unda (13)-qator 
ham yaqinlashadi, ya`ni absolut yaqinlashuvchi qator oddiy ma`noda ham 
yaqinlashuvchi bo`ladi. 
 
2-Ta`rif.
 
Agar (13)-qator yaqinlashuvchi bo`lib, (14)-qator 
uzoqlashsa, unda (13)-qator 
shartli yaqinlashuvchi
 qator deyiladi. 
 
Agar sonli qator 
 





1
1
1
n
n
n
a
yoki 
 




1
1
n
n
n
a
ko`rinishda bo`lib, 
0

n
a
bo`lsa, u holda bunday qatorga hadlarining 
ishoralari almashinib 
keluvchi qator 
deyiladi. 
 
2-Teorema. (Leybnis alomati). 
Agar
 





1
1
1
n
n
n
a

(15) 
qator berilgan bo`lib, 
1)
 
 

n
a
, ya`ni 
0
1



n
n
a
a
 


,
,...
2
,
1

n
 
2)
 
0
lim



n
n
a
 
bo`lsa, u holda (15)-qator yaqinlashuvchi bo`ladi. 
 
Misol. 
 










1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
1
n
n
n
qator Leybnis alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi bo`ladi va uning shartli 
yaqinlashuvchi ekanligini ko`rish qiyin emas.
 
 
3-Teorema. (Dirixle alomati). 
Agar
n
n
n
b
a



1

(16) 
qator berilgan bo`lib,
1)
 
 
n
a
 ketma-ketlik monoton bo`lib nolga intilsa; 

---

168 
2)
 



n
k
k
n
b
B
1
 


,
3
,
2
,
1

K
n

chegaralangan bo`lsa, u holda (16)-
qator yaqinlashuvchi bo`ladi. 
4-Teorema. (Abel alomati). 
Agar (16)-qator berilgan bo`lib, 
1)
 
 
n
a
 ketma-ketlik monoton va chegaralangan, 
2)
 



n
k
k
n
b
B
1
 qator yaqinlashuvchi 
bo`lsa, unda (16)-qator yaqinlashuvchi bo`ladi. 
 
Bizga 

hadli (13)-qator berilgan bo`lsin. Bu qator hadlarini 
guruhlab quyidagi qatorni tuzamiz: 






1
2
1
...
n
a
a
a


...,
...
2
2
1
1
1






n
n
n
a
a
a
(17) 
bu yerda 
...
2
1


n
n
 va 


k
 
da
 


k
n
 
 
5-Teorema. 
Agar (13)-qator yaqinlashuvchi bo`lib, yig`indisi S 
soniga teng bo`lsa, unda (17)-qator ham yaqinlashuvchi va uning 
yig`indisi ham S soniga teng bo`ladi. 
 
Izoh. 
5-teoremaning
 
aksi
har doim ham o`rinli bo`lavermaydi. 
Masalan, 
 










1
1
...
1
1
1
1
1
n
n
qator uzoqlashuvchi, lekin bu qatorni guruhlash natijasida hosil bo`lgan 
     
...
0
...
0
0
...
1
1
1
1
1
1











 
qator yaqinlashuvchi. 
Endi 












1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a

(18) 
yordamida (13)-qator hadlarining o`rinlarini almashtirishdan hosil bo`lgan 
yangi qatorni belgilaymiz.
 
 
6-Teorema. 
Agar (13)-qator absolut yaqinlashuvchi bo`lib, 
yig`indisi S soniga teng bo`lsa, u holda (18)-qator ham yaqinlashuvchi va 
uning yig`indisi ham S soniga teng bo`ladi. 
 
Izoh. 
6-teoremadagi (13)-qatorning absolut yaqinlashishi sharti 
muhim shartdir. Aks holda teoremaning o`rinli bo`lishi shart emas. 

Masalan, 

---

169 
 
 
...
1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1















n
n
n
n
n
qator shartli yaqinlashuvchi va 
2
ln

S
. Darhaqiqat,


 
 
,
1
...
4
3
2
1
ln
1
4
3
2
x
r
n
x
x
x
x
x
x
n
n
n











1


x
(19) 
yoyilmada 
1

x
desak, 
 
 
 
1
1
1
1
...
4
1
3
1
2
1
1
2
ln
1
n
n
n
n
r
S
r
n












va 
 
1
1
1


n
r
n
bo`ladi. 
2
ln
lim





n
n
S
S
Shunday qilib 
 






1
1
.
2
ln
1
n
n
n
ekan.

Bu qatorning qismiy yig`indilari 











n
k
n
k
k
S
1
2
,
2
1
1
2
1
 
1
2
1
2
1
2




n
S
S
n
n
 
chekli S limitga ega: 



n
n
S
2
lim
2
ln
lim
1
2





S
S
n
n
Endi berilgan qatorda hadlarining o`rinlarini almashtirish yordamida 
quyidagi 
...
4
1
2
4
1
1
2
1
...
8
1
6
1
3
1
4
1
2
1
1












n
n
n
(20) 
qatorni hosil qilamiz. (20)-qatorning yig`indisini hisoblaymiz. 














n
k
n
k
k
k
S
1
3
4
1
2
4
1
1
2
1
qismiy yig`indini olamiz. 































n
k
n
n
n
k
k
S
k
k
k
k
k
1
3
2
1
1
2
1
2
1
lim
lim
2
1
1
2
1
2
1
4
1
2
4
1
1
2
1
 
S
n
S
S
S
S
n
n
n
n
n
n
2
1
1
2
1
lim
lim
2
1
lim
2
1
3
1
3
2






















va 





2
3
lim
n
n
S
















S
n
n
S
n
n
2
1
2
4
1
1
2
1
lim
3
(20)-qatorning yig`indisi 
2
ln
2
1
2
1



S
S
ekan.


---

170