4. Modellashtirilgan element haqida qo'shimcha ma'lumotlarni kiritish

1.3 Analog modellar

Bu tekshirilayotgan ob'ektni o'zini haqiqiy ob'ektga o'xshatib ko'radigan, lekin bunday ko'rinmaydigan analog sifatida ifodalovchi modelning nomi.

Mana ikkita juda tipik misol.
Misol 1. Harakat va natijalar o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadigan grafik analog modeldir. Shakldagi grafik. 1.1 talabaning imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun sarflagan vaqti natijaga qanday ta'sir qilishini ko'rsatadi.

Guruch. 1.1. Harakat va natijalar o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadigan grafik

2-misol. Aytaylik, siz uchta shaharga ma'lum tovarlarni muntazam yetkazib berishning eng tejamkor yo'lini topishingiz kerak, buning uchun faqat bitta ombor qurishingiz kerak. Asosiy talab: ombor uchun joy shunday bo'lishi kerakki, umumiy transport xarajatlari eng past bo'lishi kerak (har bir tashish narxi ombordan belgilangan joyga bo'lgan masofaning umumiy og'irligining mahsulotiga teng deb hisoblanadi). tashilgan tovarlar va tonna-kilometrlarda o'lchanadi).
Biz hududning xaritasini kontrplak varag'iga yopishtiramiz. Keyin, har bir shaharning joylashgan joyida biz teshiklarni kesib, ular orqali iplarni o'tkazamiz va ularga ushbu shahardagi tovarlarning so'rovlariga mutanosib ravishda og'irliklarni biriktiramiz (1.2-rasm). Iplarning bo'sh uchlarini bitta tugunga bog'lab, qo'yib yuboring. Gravitatsiya ta'sirida tizim muvozanat holatiga keladi. Tugun tomonidan ishg'ol qilinadigan va omborning optimal joyiga mos keladigan kontrplak varag'idagi joy (1.3-rasm).
Izoh. Oddiylik uchun biz qayta qurish kerak bo'lgan yo'llarning narxini hisobga olmaymiz.

Guruch. 1.2. Kontrplak varag'idagi er xaritasi

Guruch. 1.3. Omborning optimal joylashuvi

2. Diskret ob'ektlarning matematik modellarini qurish

2.1 Aholi modeli

Qizig'i shundaki, matematik modelni yaratish ko'pincha qiyin emas. Buning uchun ko'pincha eng oddiy va eng oson tushuntirilgan taxminlar qo'llaniladi. Keling, buni qanday qilish mumkinligini deyarli haqiqiy misol yordamida tasvirlaylik. Keling, quyidagi rasmni tasavvur qilaylik. 18-asr oʻrtalari Markaziy Yevropa ,viloyatlardagi cherkov, cherkov, parishionerlar - atrofdagi qishloqlarning aholisi, cherkov ruhoniysi ma'bad ilohiy xizmatlar uchun tor bo'lib qolganini payqaydi: parishionlar soni ko'paydi. Ruhoniy o'ylaydi: agar kelajakda parishionlar soni ko'payib borsa, unda yangi cherkov qurish kerak bo'ladi, bu katta mablag' talab qiladi.

Ruhoniy ma'badning qurilishi kerak bo'lgan vaqt va uning hajmi ko'p jihatdan atrofdagilar soni qanday o'zgarishiga bog'liqligini tushunadi. Va u buni sinab ko'rishga qaror qiladi. Keling, harakat qilib ko'raylik va biz zamonaviy belgilar va tildan foydalanib, uning fikrlash yo'nalishini belgilaymiz.
n-yil oxiriga kelib parishionlar sonini x bilan belgilaymiz. Bir yil ichida ularning soni, ya'ni. (n + 1) yil oxiriga kelib, x bilan belgilash tabiiydir n + 1 .Keyin bu yilgi raqamning o'zgarishini farq bilan tasvirlash mumkin
Bu ikkita tabiiy sababga ko'ra yuzaga keladi - odamlar tug'iladi va o'ladi (oddiylik uchun biz migratsiya virusi o'sha paytda bu hududga tushmagan deb taxmin qilamiz). Cherkov kitoblari yordamida yiliga tug'ilganlar va o'limlar sonini aniqlash qiyin emas. Turli yillarda tug'ilganlar va o'limlar sonini hisoblab, ruhoniy olingan raqamlarni va d1, ..., dk ni shu yillardagi parishionerlarning umumiy soni bilan solishtirishga qaror qiladi x1, .., xk va nisbatlar x1, ..., xk yillardan juda oz farq qiladi. Xuddi shu narsa munosabatlarga ham tegishli.

Hisob-kitoblarning soddaligi uchun biz bu munosabatlarni doimiy deb hisoblaymiz va ularni quyidagicha belgilaymiz? va? mos ravishda. Shunday qilib, yilda tug'ilganlar soni n-yil teng bo'lib chiqadi, o'lganlar soni?xn, va tabiiy sabablarga ko'ra sonning o'zgarishi +?xn -?xn.

Natijada, biz Xn =? Xn -? Xn yoki batafsilroq munosabatga kelamiz:

xn + 1 = xn +? xn-? xn

Qo'ying? = 1 +? -?. Shunda bizni qiziqtirgan formula shakl oladi

Model qurilgan.

Endi nima bo'lganini aniqlashga harakat qilaylik, ya'ni tuzilgan modelni tahlil qilamiz. Uchta holat mumkin:
1)?>1(?=?-?>0 -Ular o'lgandan ko'ra ko'proq tug'iladi) va parishionlar soni yildan-yilga ortib bormoqda,
2)?=1 (?=?-?=0 -qancha tug'ilsa, shuncha o'ladi) va cherkov a'zolari soni yildan-yilga o'zgarishsiz qoladi;
3)?<0 (?=?-?<0 -tug'ilgandan ko'ra ko'proq o'ladi) va parishionlar soni doimiy ravishda kamayib bormoqda.
Modelni yaratish uchun motivatsiya parishionlar soni qanchalik tez o'sishini bilish istagi bo'lganligi sababli, keling, 1-holdan boshlaylik.
1-holat. Shunday qilib, parishionlar soni ortib bormoqda. Lekin qanday qilib, qanchalik tez? Mana, shaxmatning noma'lum kashfiyotchisi haqidagi ogohlantiruvchi hikoyani (qayg'uli masal) qisqacha eslash vaqti keldi. Ularning ta'kidlashicha, o'yin boy va qudratli maharajaga juda yoqdi, u darhol ixtirochi mukofotlashga qaror qildi va saxiylik bilan o'zi uchun mukofot tanlashni taklif qildi. U, ular aytganidek, shaxmat taxtasidan parchalarni olib tashlab, 1-hujayraga bitta bug'doy donini, ikkinchisiga qo'ydi. -ikkita don, 3-da -to'rtta don, 4-da -sakkizta don (2.1-rasm) va maharajaga taklif qilingan qonunga muvofiq bug'doy donalarini shaxmat taxtasining boshqa kataklariga yoyish uchun xizmatchilarga buyruq berishni taklif qildi, ya'ni: 1,2,4,8 ,16, ..., 263.

Guruch. 2.1. Shaxmat taxtasi muammosi va maharaja mukofoti

Maxaraj bu oddiy iltimosni deyarli xafa qildi va u rozi bo'ldi. uni bajarish uchun uzoq vaqt kerak bo'ladi. Ammo ixtirochi turib oldi. — buyurdi Maharaja. Va xizmatkorlar darhol bu "nur" ni bajarishga shoshilishdi. mashq qilish. Aytish kerakki, ular Maharajaning buyrug'ini bajara olmadilar. Gap shundaki, bug'doy donlarining umumiy soni shaxmat taxtasida 2 ga teng bo'lishi kerak edi 64 - 1,Bu hozir butun dunyoda bir yilda yetishtiriladiganidan ancha yuqori. Keling, masalni juda qisqa qilib tugatamiz: Maxaraja notanish vaziyatga tushib qoldi. -u omma oldida va'da berdi va uni bajara olmadi. Biroq jinoyatchi darhol topildi. Ehtimol, shuning uchun ham tarix shaxmat ixtirochisi nomini saqlab qolmagan. Keling, aniqroq bo'lishi uchun qo'shni nuqtalarni bog'lash uchun har bir keyingi hujayradagi donalarning soni qanchalik tez o'sishini grafikda tasvirlashga harakat qilaylik (2.2-rasm).

Guruch. 2.2-2.3. Eksponensial populyatsiya o'zgarishi

Shaxmat ixtirochisi tomonidan taklif qilingan qoida X n + 1 = 2x n uchun formula (1) ning maxsus holatidir ?= 2 va shunga o'xshab, qonunni tavsiflaydi, shundan keyin biz geometrik progressiyani tashkil etuvchi raqamlar ketma-ketligini olamiz. Har qanday uchun ?>1x ning o'zgarishini ko'rsatadigan rasm n ,shunga o'xshash shaklga ega - x n eksponent tarzda o'sib boradi. 1820 yilda Londonda T.R. Maltus "Siyosiy iqtisod tamoyillari ularni amaliy qo'llash maqsadida ko'rib chiqildi" asarini nashr etdi (ruscha tarjimasi). -“Aholi qonuni haqida tajriba...” T. 1-2. SPb., 1868), unda, xususan, odamlarning biologik xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, populyatsiya geometrik progressiya qonuniga ko'ra ko'payish tendentsiyasiga ega ekanligi aytilgan.

x n = 1 =?x n, ?>1,

tirikchilik vositalari faqat arifmetik progressiya qonuniga koʻra ortishi mumkin boʻlsa, y n + 1 = y n + d ,d> 0. Aholining omon qolish muammolari bilan bevosita bog'liq bo'lgan miqdorlarning o'zgarish tezligidagi bu farq (2.3-rasm). ,e'tibordan chetda qola olmadi va tegishli doiralarda keskin tanqid va o'ta siyosiylashtirilgan bahs-munozaralarga sabab bo'ldi. Keling, tanqid faktidan tuzilgan modelning adekvatligi haqida foydali xulosa chiqarishga harakat qilaylik (1). Albatta, vaziyatni tavsiflashni soddalashtirishga urinayotganda, ba'zi holatlarni ahamiyatsiz deb hisoblab, ularni e'tiborsiz qoldirish kerak. Biroq, nima muhim va nima muhim emasligi haqida yagona nuqtai nazar yo'qdek. Siz, masalan, yomg'ir boshlanganiga e'tibor bermasligingiz mumkin. Ammo tan olish kerakki, yomg'irda yuz metr yugurish boshqa, boshqa narsa -bu yomg'irda soyabonsiz bir soatlik yurish. Bu erda biz shunga o'xshash narsani kuzatamiz: 3-4 yil oldin hisoblashda (1) formula juda yaxshi ishlaydi, ammo unga asoslangan uzoq muddatli prognoz noto'g'ri bo'lib chiqadi.
Muhim xulosa. O'zingiz quradigan yoki tanlagan modelni taklif qilayotganda, uni ishlatish mumkin bo'lgan chegaralarni aniq ko'rsatishingiz kerak va bu chegaralarning buzilishi jiddiy xatolarga olib kelishi mumkinligi haqida ogohlantirishingiz kerak (va katta ehtimol bilan). Muxtasar qilib aytganda, har bir model o'z resursiga ega. Bluzka yoki ko'ylak sotib olayotganda, biz maksimal ruxsat etilgan dazmollash harorati, ruxsat etilgan yuvish turlari va boshqalarni ko'rsatadigan yorliqlarning mavjudligiga o'rganib qolganmiz. u orqali bir marta yurish uchun temir - mato ustida boshqa. Siz buni qila olasiz. Lekin shunday dazmollagandan keyin bluzka yoki ko'ylak kiymoqchimisiz? 2-holat. Populyatsiya soni o'zgarmaydi (2.4-rasm). 3-holat. Aholi nobud bo'lmoqda (2.5-rasm).

Guruch. 2.4. Aholi soni doimiy bo'lgan aholi grafigi

Guruch. 2.5. Raqamlarning kamayishi bilan aholi grafigi

Biz aholi modelining tavsifi haqida ataylab batafsil to'xtalib o'tdik, birinchidan, u bunday turdagi birinchi modellardan biri bo'lganligi sababli, ikkinchidan, uning misolida ko'rgazmani qurish muammosini hal qilishning asosiy bosqichlarini ko'rsatish uchun. matematik model o'tadi.

Izoh 1. Ko'pincha ushbu populyatsiya modelini tavsiflashda uning differentsial versiyasiga asoslanadi: x =?x (bu erda x = x (t) -vaqtga bog'liq aholi soni, x " -vaqt hosilasi, ?-doimiy).
Izoh 2. X ning katta qiymatlari uchun yashash vositalari uchun raqobat kamayishiga olib keladi ?,va bu qattiq modelni yumshoqroq model bilan almashtirish kerak: x =?(x) x ,qaysi koeffitsient ?aholi soniga bog'liq. Eng oddiy holatda, bu bog'liqlik quyidagicha tavsiflanadi:

(x) = a-bx

qaerda a va b -doimiy sonlar bo'lib, tegishli tenglama shaklni oladi

x = ax-bx 2

Va biz yanada murakkab, logistika deb ataladigan modelga keldik, u allaqachon aholi dinamikasini juda yaxshi tasvirlab beradi. Logistika egri chizig'ini tahlil qilish (2.6-rasm) ibratli va o'quvchi uchun qiziqarli bo'lishi mumkin. Logistika modeli boshqa jarayonlarni, masalan, reklama samaradorligini ham yaxshi tavsiflaydi.

Guruch. 2.6. Logistik egri chiziq