4-mavzu: kordinatalar sistemasini kiritish va ularni almashtirish. Tekislikda analitik geometriya. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. Ikki nuqta orasidagi masofani topish tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish
Teorema. Agar nuqta va nuqtalar bilan chegaralangan kesmani nisbatda bo‘lsa, u holda bu nuqtaning koordinatalari
(2.1.4)
formulalar bilan topiladi.
Isboti. to‘g‘ri chiziq o‘qqa perpendikular bo‘lmasin. nuqtalardan o‘qqa perpendikularlar tushiramiz va ularning o‘q bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda bilan belgilaymiz (5-shakl).
Elementar geometriyaning parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi kesmalarning proporsionalligi haqidagi teoremasiga asosan topamiz:
,
bu yerda
va sonlar bir xil ishorali ( da ular musbat, da ular manfiy)
bo‘lgani uchun .
Bundan

Agar to‘g‘ri chiziq o‘qqa perpendikular bo‘lsa, u holda bo‘ladi va (2.1.4) formulaning birinchisi ayniyatga aylanadi.
(2.1.4) formulaning ikkinchisi shu kabi isbotlanadi.
(2.1.4) tenglikdan da quyidagi natija kelib chiqadi.
1-Natija. Agar va tekislikning ikkita ixtiyoriy nuqtasi, – kesmaning o‘rtasi bo‘lsa, u holda
(2.1.5)
bo‘ladi.
Misol. va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmani nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Masalaning shartiga ko‘ra nuqta kesmaning boshi, nuqta uning oxiri bo‘lsin. nuqtani (8.4) formulalar bilan topamiz:
, , yoki
Ikki nuqta orasidagi masofa
Teorema. Tekislikning istalgan ikkita va nuqtalari orasidagi masofa
(8.3)
formula bilan topiladi.
Isboti. va nuqtalardan , o‘qlariga mos ravishda , perpendikular tushiramiz va , to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasini bilan belgilaymiz (4-shakl). nuqta koordinataga ega bo‘ladi.
Bundan
kelib chiqadi. U holda to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘lgani uchun Pifagor teoremasiga ko‘ra
.
Misol
va nuqtalar orasidagi masofani topamiz: