4-mavzu: kordinatalar sistemasini kiritish va ularni almashtirish. Tekislikda analitik geometriya. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. Ikki nuqta orasidagi masofani topish tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

4-MAVZU: KORDINATALAR SISTEMASINI KIRITISH VA ULARNI ALMASHTIRISH. TEKISLIKDA ANALITIK GEOMETRIYA. KESMANI BERILGAN NISBATDA BO’LISH. IKKI NUQTA ORASIDAGI MASOFANI TOPISH


Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Musbat yo’nalishi tanlab olingan l to’g’ri chiziq o’q deyiladi. O’qning yo’nalishini odatda strelka bilan ko’rsatiladi(1-rasm).

1-rasm.
Bu strelkaning yo’nalishi l to’g’ri chiziqdagi musbat yo’nalishni aniqlovchi vektor yo’nalishi bilan bir xil bo’ladi.
Yo’nalish o’qdagi musbat yo’nalish bilan bir xil bo’lgan (ya’ni ) vektor o’qning orti (bazisi) deyiladi. Tekislikda ikkita o’zaro perpendikular to’g’ri chiziq o’tkazamiz: bunda biri gorizontal, ikkinchisi vertikal bo’ladi
. 1-rasm.
Ularning kesishish nuqtasini O harfi bilan belgilaymiz. Shu to’g’ri chiziqlarda yo’nalishlar tanlaymiz: gorizontal to’g’ri chiziqda chapdan o’ngga, vertikal to’g’ri chiziqda pastdan yuqoriga. Har bir to’g’ri chiziqda bir xil uzunlik birligini ajratamiz.
Agar to’g’ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O nuqta, musbat yo’nalish va uzunlik birligi tanlab olingan bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi.
Gorizontal to’g’ri chiziq Ox bilan belgilanadi va abssissalar o’qi deyiladi; vertikal to’g’ri chiziq Oy bilan belgilanadi va ordinatalar o’qi deyiladi. Abssissalar o’qini va ordinatalar o’qini koordinatalar o’qlari, ularning kesishish nuqtasini koordinatalar boshi deyiladi. Koordinatalar boshi har bir o’qdagi nol sonini tasvirlaydi.
Abssissalar o’qida musbat sonlar O nuqtadan o’ngda joylashgan nuqtalar bilan, manfiy sonlar esa O nuqtadan chapda joylashgan nuqtalar bilan ifodalanadi. Ordinatalar o’qida musbat sonlar O nuqtadan yuqorida joylashgan nuqtalar orqali, manfiy sonlar esa O nuqtadan pastda joylashgan nuqtalar bilan ifodalaniladi.
Yo’nalishlar va uzunlik birligi tanlangan ikkita o’zaro perpendikular to’g’ri chiziq tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini hosil qiladi. Yoki bu koordinatalar sistemasi XVII asrning taniqli matematigi Rene Dekart nomi bilan ham ataladi. Koordinatalar sistemasi tanlangan tekislik koordinata tekisligi deyiladi. Koordinata o’qlari tashkil qilgan to’g’ri burchaklar koordinata burchaklari yoki kvadrantlar deyiladi va 1-rasmdagi kabi raqamlanadi.
Aytaylik, M­­­ koordinata tekisligining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin(2-rasm). M nuqtadan abssissalar o’qiga perpendikular tushiramiz.
2-rasm.
Shu perpendikularning asosi M nuqtaning absissasi deb ataladigan biror x sonni tasvirlaydi.
M nuqtadan ordinatalar o’qiga perpendikular tushirsak, bu perpendikularning asosi M nuqtasining ordinatasi deb ataluvchi biror y sonni tasvirlaydi.
M nuqtadan abssissasi va ordinatasi M nuqtaning koordinatalari deyiladi. M(x:y) yozuv M nuqta x abssissaga va y ordinataga ega ekanini bildiradi. Bu holda M nuqta (x; y) koordinatalarga ega deb ham aytiladi. Masalan, M(3; 5) yozuvda 3 soni — abssissa, 5 soni — ordinata.
Nuqtalarning koordinatalarini yozishda sonlarning tartibi muhim ahamiyatga ega. Masalan, M₁(1; 2) va M₂(2; 1) nuqtalar tekislikdagi har xil nuqtalardir (3- rasm).

Agar o’qda biror bazis tanlangan bo’lsa, u holda o’qdagi har bir vektorga to’la aniqlangan bitta son mos keltiriladi va bu son vektorning bazis bo’yicha yoyilmasining koeffitsientidan iborat bo’ladi.
l o’qda yotgan vektor shu o’qda tanlangan bazis bilan kollinear bo’ladi. Vektorlarning kollinear bo’lish shartidan
= (1)
Munosabatni yoza olamiz. (1) dagi x sonni odatda vektorning koordinatasi deyiladi. Agar x son vektorning koordinatasi bo’lsa, uning M(x) ko’rinishidagi yozuvi ham shu ma’noni anglatadi, shu bilan birga x son M nuqtaning koordinatasi degan ma’noni anglatadi.
Agar tekislikda koordinatalar boshi deb ataluvchi nuqta, o’zaro perpendikular to’g’ri chiziqlar, ularda musbat yo’nalish hamda uzunlik birligi (umuman olganda hamma yo’nalishda har xil) tanlangan bo’lsa, tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi. O’qlar mos ravishda abssissalar o’qi, ordinatalar o’qi (aplikatalar o’qi) deb yuritiladi. Tegishli o’qlar koordinata o’qlari deyiladi. Faraz qilaylik, tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (uni qisqacha xOy Sistema deb ham yuritiladi) va vektor koordinatalar boshi O nuqtadan chiqqan bo’lsin(2-rasm).
2-rasm.
Ta’rif. vektorning xOy sistemadagi koordinatalari deb uning koordinata o’qlaridagi proeksiyalariga aytiladi, ya’ni

Ta’rifga ko’ra x, y sonlar vektorning xOy sistemadagi koordinatalaridir; x sonni vektorning abssissasi, y ni esa uning ordinatasi deyiladi. Koordinatalari x, y dan iborat vektor simvoli bilan belgilanadi. Koordinatalar sistemasini endi koordinata o’qlaridagi birlik vektorlar bilan ko’rsatib o’tamiz.
Agar vektor koordinatalar boshidan chiqib, uning koordinatalari x, y bo’lsa, A nuqtaning koordinatalari ham shu sonlardan iborat bo’ladi. Bu ravshan vektor A nuqtaning radius-vektori deyiladi. Shunday qilib, A nuqtaning to’g’ri burchakli sistemadagi koordinatalari shu nuqta radius-vektorining koordinatalariga tengdir. vektorni o’qlardagi birlik vektorlarning yo’nalishlari bo’yicha yoyish mumkin:
Ammo , bunda A₁, A₂ lar A nuqtaning sistema o’qlaridagi proyeksiyasidir. Demak,

Teorema. Agar xOy sistemada {x_1, y₁}, {x_2, y₂} bo’lsa, {x₁+ x_2, y₁+ y₂} bo’ladi. (3-rasm)
3-rasm.