4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

1-misol. Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob for- mulalarini yozing:

y₁(x) = y₁²(x) + y₂²(x) ,

y₂(x) = y₁(x)  y₂(x) , 0  x  1,

y₁(0) = y₂(0) = 1.

Yechish. Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha:

y_1,0 = y_2,0 = 1.

y_1,i+1 = y_1,i + h((y_1,i)² + (y_2,i)²) , i = 0, 1, …, N–1, (22)

y_2,i+1 = y_2,i + h(y_1,i  y_2,i) , i = 0, 1, …, N–1 . (23)

Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: x _i tugundagi y _1,i va y _2,i toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (22) va (23) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x _i+1 tugund- agi y_1,i+1 va y_2,i+1 toʻr yechimlar topiladi.

Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:

y_1,0 = y_2,0 = 1.

y_1,i = y_1,i-1 + h((y_1,i)² + (y_2,i)²) , i = 1, 2, …, N, (24)

y_2,i = y_2,i-1 + h(y_1,i  y_2,i) , i = 1, 2, …, N . (25)

Bu hisob formulalari boʻyicha ham bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: x _i-1 tugundagi y _1,i-1 va y _2,i-1 toʻr yechimlar topil- gandan keyin i ning qiymatida (24) va (25) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i tugundagi y_1,i va y_2,i toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.

7. 
   izoh. Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkor- mas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilin- gan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadam- lari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» dif- ferensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kat- taroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam boʻladi.
   

4.