4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

Masalaning qoʻyilishi

Koshi masalasi. Ushbu

birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning boshlangʻich shart bilan [x₀, x_n] kesmadagi yechimini toping.

Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar

h = (x_n – x₀)/n

qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [x₀, x_n] kesmadagi

x_i = x₀ + ih, i=0, 1, .., n

nuqtalardan foydalaniladi.

Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish:

xi x	0 x	1	… x	n
yi	y0	y1	…	yn

yaʼni y(x) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izla- nadi.

Berilgan tenglamani [x_i, x_i+1] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:

Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli inte- gallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.

3. Eylerning oshkor usuli

Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning univer- sial usuli tavsiflangan:

y(x) = f(x,y(x)), x₀  x  x₀ + L, (1)

y(x₀) =  . (2)

bu yerda L > 0, L – integrallash kesmasining uzunligi.

Bu tenglamaning yechimi deb shunday y(x) funksiya tushuniladiki, u berilgan [x₀, x₀+L] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalar- da (1) tenglamani qanoatlantiradi va x = x ₀ nuqtada qoʻshimcha (bosh- langʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.

Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun f(x,y) funksiya [x₀ , x₀+ L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (x _*, y_*) nuqtasida aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm).

1-rasm. 2-rasm

N natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [x₀ , x₀ + L] ni

h = L/N (3)

uzunlikli N ta boʻlakka

x_i = x₀ + ih, i = 0, 1, …, N (4) nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm).

Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [x₀, x ₀+L] kesmadagi toʻr, x _i nuqtalar- ning oʻzlarini esa toʻrning tugunlari deb ataymiz.

Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [x_i, x_i+1] kesmaning uzunligi boʻlib, u toʻrning qadami deb ataladi (3-rasm). N ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami nolga intiladi:

N  da h  0, (5)

bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.

3-rasm.

Bizning maqsadimiz, izlanayotgan y(x) yechimning bu toʻr tugun- laridagi y(x_i) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning x_i nuqtasida y(x_i) hosilaning yozilgan ushbu

y(x_i) = f(x_i, y(x_i)) (6)

ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish:

y(x_i  h)  y(x_i ) _ y(x_i1 )  y(x_i ) _{. (7)}

h h

Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.

Faraz qilaylik, _i – toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi boʻlsin:

y(x_i1 )  y(x_i ) <sub> y(x )  .

h</sub> i i

Bu yerdan y(x_i) hosilani quyidagicha

y ( )

y( _i )

y( _i )

i _h i

ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni

hosil qilamiz:

^{y(xi1 )  y(xi )}  f (x , y(x )) 

. (8)

_h i i i

Bu tenglikni izlanayotgan ikkita y(x_i) va y(x_i+1) miqdorlar qanoatlanti- radi.

Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha

i = 0, 1, …, N–1

lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama N ta tenglamalar sistemasini tashkil qiladi (bu yerda i = N uchun (8) tenglamani yozib boʻlmaydi, chunki bu tugunda x_i+1 nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).

Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan _i xatolik hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib barcha y(x_i) miqdorlarni i = 1, 2, …, N lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina y(x ₀) maʼlum. Ammo h qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.

Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum y(x _i) miqdorni y _i deb bel- gilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:

^{yi1  yi  f (x , y )} , i = 0, 1, …, N-1. (9)

_h i i

Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning yechimini ham oʻzgartiradi.

Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu

y₀ =  (10)

tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum y _i miqdorlarni topishning skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Ushbu

y₀, y₁, …, y_N

ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum y _i

miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular toʻr yechimlar deb ataladi, bu ketma-

ketlikning umumiy hadi y _i esa toʻr yechimning x _i tugundagi qiymati

deyiladi.

Dastlabki x ₀ tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni

y₀ =  = y(x₀), toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu

y_i  y(x_i), i = 1, 2, …, N

taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi.