3D modellashtirish va raqamli animatsiya

mXn 
tayanch nuqtaga 
ega sirt uchun qo‘shimcha karrali tayanch nuqtalari soni 
(
2m+2n+4
). Bu sxematik tarzda 3.15-rasmda keltirilgan (B-
splaynning bitta qirqimi uchun ).
Kichik doiralar bilan B-splaynning 16 ta tayanch nuqtasi 
belgilangan (
– burchak nuqtalar). Uzliksiz chiziq 
bilan xarakteristik ko‘p yoqning sirtning mumkin bo‘lgan to‘qqizta 
qirqimiga mos qismi ko‘rsatilgan. Katta doiralar bilan qo‘shimcha 
tayanch nuqtalar belgilangan. Strelkalar bilan qaysi joriy tayanch 
nuqta o‘zining koordinatalarini berishi ko‘rsatilgan. Tayanch 
nuqtalar formal ravishda ko‘paydi. Yangi sirt chegarasi uzilishli 
(shtrix) chiziq bilan belgilangan. Ular yangi tayanch nuqtalardan 
o‘tadi biroq oldingi chegaraviy tayanch nuqtalar koordinatalarini 
qabul qiladi, demak, splayn sirtning geometrik chegarasi 
o‘zgarmadi, faqatgina ularning formal tavsifi o‘zgargan.

---

64 
Qo‘shimcha tayanch nuqtalar tufayli joriy sirtning chegaraviy 
qirqimlari yangi splayn primitivlarga markaziy bo‘lib qoladi. Misol 
uchun, nuqtachalar bilan to‘ldirilgan qism kulrang bilan ajratilgan 
xarakteristik ko‘p yoq uchun markaziy bo‘lib qolgan. Bu qismga 
yaqinlashtirilgan qirqimning burchak nuqtasi 
tayanch nuqtaga 
yaqinlashganligini ko‘rsatish mumkin. Burchak nuqtaning 
x 
koordinatasi (3.7) ifoda bilan aniqlanadi. 
tayanch nuqtalarning karraliligi sababli 
tayanch nuqta eng katta 
vaznga ega bo‘ladi va u 25/36 bo‘ladi, karrali nuqtalar kiritilgunga 
qadar uning vazni 1/36 ga teng edi.
Ikkiga teng karrali tayanch nuqtalar B-splaynning nuqtalarini 
modellashtirilayotgan sirtning chegaraviy nuqtalariga yaqinlash-
tiradi, biroq ularning ustma-ust tushishini ta’minlamaydi. Ustma-ust 
tushishini ta’minlash uchun uchga teng karralik zarur bo‘ladi. Uning 
uchun chegaraviy tayanch nuqtalarga karrali nuqtalarni qayta 
qo‘shish lozim bo‘ladi. Qayta qo‘shish tamoyili 3.15-rasmda 
keltirilgani kabi bo‘ladi. Ikkinchi marta qo‘shilayotgan tayanch 
nuqtalar soni (
2m+2n+12
) ga teng bo‘ladi. Natijada, 3.15-rasmda 
ko‘rsatilgan xarakteristik ko‘p yoq qismiga sirtning har tomonidan 
bittadan qator qo‘shiladi. O‘z vaqtida sirtning geometrik chegarasi 
o‘zgarmaydi. Uch karrali tayanch nuqtalardan foydalanilganda 
sirtning chegaraviy qirqimlari chegaraviy nuqtalardan o‘tuvchi tor 
yo‘lak hosil qiladi. Nihoyat, to‘rt karrali tayanch nuqtalarni hosil 
3.15-rasm. Qo‘shimcha karrali tayanch nuqtalarni hosil qilish. 

---

 йўна 
65 
qilib egri chiziqqa o‘zgargan chegaraviy qirqimni olamiz. Bu egri 
chiziqlar aynan xarakteristik ko‘p yoqning chegaraviy nuqtalari 
orqali o‘tadi.
B
ilovada MathCAD dasturida olingan va karrali tayanch 
nuqtalar 
tatbiqini 
ko‘rsatuvchi tasvir keltirilgan. Tayanch 
nuqtalarning boshlang‘ich to‘plami sifatida 
A
ilovadagi nuqtalar 
olingan. Olingan tasvirlarda koordinatalarning sonli qiymatlariga 
e’tibor qaratib, qirqimlarning fazodagi joylashuvi va karrali tayanch 
nuqtalarning bunga ta’siri haqida fikr yuritish mumkin bo‘ladi.
Shunday qilib, karrali tayanch nuqtalarni qo‘llash murakkab 
sirtlarni modellashtirish sifatini yaxshilaydi, bunda grafik tizimning 
hisoblash resurslari hajmi ortadi.
Splayn sirtlar yoritilishini modellashtirish uchun uning 
nuqtalaridan o‘tadigan ngormallarning yo‘nalishlarini bilish zarur 
bo‘ladi. Yuqorida ta’kidlanganidek, parametrik berilgan sirtlarga 
normallar koordinatalarini (3.1) ifoda bilan topish ancha murakkab. 
Shu sababli, geometrik almashtirishdan so‘ng splayn sirtlarni 
tesselyatsiyalash (ingl. tessellation) amalga oshiriladi va keyin 
poligonal shaklda qayta ishlanadi.
Ratsional bikubik splaynlar ko‘pgina tasvirlash imkoniyatiga 
ega. Kompyuter grafikasida odatda notekis to‘rli ratsional B-
splaynlardan (Non-Uniform Rational B-splines – NURBS) 
foydalaniladi. Ularning tavsifida shaklning sonli parametrlari (vazn 
koeffitsiyentlari) mavjud va u tayanch nuqtalar koordinatalarini 
щzgartirmasdan sirt shaklini boshqarish imkonini beradi. Sirtning 
ratsional bikubik splaynlar quyidagi ko‘rinishga ega:
( )
∑
∑
( ) 
( ) 
∑
∑
( ) 
( )
( )
 
(3.8) bu erda, 
– vazn koeffitsiyenti, har bir tayanch nuqta o‘z 
vazn koeffitsiyentiga ega.
( ) ( )
koordinatalar ham yuqoridagidek aniqlanadi 
koordinatalardan 
foydalanib 
( ) 
( )
funksional 
koeffitsiyentlar oldingi splayn funksiyadagi kabi bo‘lishi mumkin. 
Rasional 
B-splaynning 
o‘ziga xosligi ularning perspektiv 
proeksiyalashga nisbatan invariantligidir. Bu splaynning barcha 
nuqtalarini ekran tekisligiga perspektiv proeksiyalashni splaynni 

---

66 
(3.8) ifoda bo‘yicha yoyish bilan almashtirish mumkinligini 
anglatadi va tayanch nuqtalarning (
) koordinatalari 
perspektiv qonuniyat bo‘yicha qayta hisoblanadi. Noratsional 
splaynlar bunday xossaga ega emas. Ratsional splaynning joriy 
nuqtalari koordinatalari matritsa shaklida quyidagicha ifodalanadi:.
( )
|
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
( 
) ( 
)
|
,
|
|
, 
bu erda 
WX 
– mos shakl koeffitsiyentlari bilan tayanch nuqtalar 
koordinatalari matritsasi; 
WX 
– splayn shakli koeffitsiyentlari 
matritsasi. 
Keltirilgan ifodaning ko‘rinishi sirtlarni rasional splaynlar 
asosida modellashtirish katta hisoblashlarni talab qilishini ko‘r-
satmoqda. Zamonaviy grafik kutubxonalarda NURBSni chizishning 
makro buyruqlari mavjud.