3D modellashtirish va raqamli animatsiya

Normallarni va qaytish burchaklarini hisoblash 
Normal vektor koordinatalarini hisoblash.
Yorug‘likning 
qaytish modelini ko‘rib, sirt normali uning eng muhim 
elementlaridan biri hisoblanishini ko‘rish mumkin. Sirtning berilgan 
nuqtadagi normal vektorini aniqlash har xil usullarda bajalishi 
mumkin. Qaysidir ma’noda bu sirtni ifodalash modeli tipini 
belgilaydi. Analitik shaklda berilgan sirt uchun funksiya hususiy 
hosilalarini hisoblashga asoslangan differensial geometriya usullari 
ma’lum. Misol uchun, agarda sirt parametrik funksiyalarda berilgan 
bo‘lsa, 
( )
, 
( )
, 
( )
. 
u holda, normal vektor koordinatalarini quyidagicha hisoblash 
mumkin: 

---

94 
| 
|
, 
| 
|
, 
| 
|
. 
Sirt vektor-poligonal modelda ifodalanganda normalni aniqlash 
uchun vektor algebrasi usullaridan foydalanish mumkin. 
4.11-rasm. Sirtning bir yog‘i. 4.12-rasm. Radius-vektorlar. 
Fazoda biror-bir ko‘pyoqli sirt berilgan bo‘lsin. Uning uch 
burchak ko‘rinishidagi tekis yoqlaridan birini ko‘raylik (4.11-rasm). 
Normal vektor koordinatalarini hisoblash uchun bu yoq tekisligida 
yotgan 
ixtiyoriy 
ikkita 
vektorning 
vektor 
ko‘paytmasidan 
foydalanamiz. Bunday vektor sifatida yoqning qirralaridan 
foydalanamiz, misol uchun, 1–2- va 1–3-qirralar. Biroq, vektor 
ko‘paytma uchun formulani radius vektorlar uchun keltirgan edik. 
Radius-vektorga o‘tish uchun koordinata markazi 1-uchga tushuvchi 

---

95 
va oldingi sistema o‘qlariga parallel bo‘lgan yangi koordinatalar 
sistemasiga o‘tiladi. Uchlarning yangi sistemadagi koordinatalari 
quyidagicha bo‘ladi: 
4.12-rasmda keltirilganidek, (1-2) qirrani 
⃗
vektor, (1-3) qirrani 
⃗⃗
vektor deb ataymiz. Shunday qilib, fazoda yoqning normal holati 
⃗⃗⃗
radius-vektor bilan ifodalanadi. Uning
( 
)
sistemadagi 
koordinatalarini 
vektor 
ko‘paytmalar 
uchun 
formulalarda 
ifodalaymiz: 
( 
)( 
) ( 
)( 
)
( 
)( 
) ( 
)( 
)
( 
)( 
) ( 
)( 
)
bu 
yerda, 
yoqlar 
uchlarining 
ko‘chirishgacha 
bo‘lgan 
koordinatalaridan foydalanilgan. 
Tekis yoq har xil yondashuvlarda tasvirlanishi mumkin. Har 
bir holat uchun yoqning ko‘rinadigan tomoniga mos normal 
yo‘nalishini tanlash zarur bo‘ladi. Agarda tekis yoq teskari 
tomondan ko‘rinadigan bo‘lsa, u holda qaytuvchi nur hisobida 
normal sifatida teskari vektorni, ya’ni 
( ⃗⃗⃗)
ni tanlash lozim. Agarda 
poligonal sirt uchburchak yoq bo‘lmasa, misol uchun, tekis 
to‘rtburchak bo‘lsin, u holda normal hisobi yoqning ixtiyoriy uchta 
uchi bo‘ylab amalga oshirilishi mumkin.
Diffuzli qaytish.
Yorug‘lik manbai yo‘nalishi va normal vektori 
orisidagi burchak kosinusini aniqlaylik.
Birinchi misol (eng sodda misol).
Yorug‘lik manbai 
o‘qidagi 
cheksizlikdagi 
nuqtaga 
joylashtiriladi. 
Agarda 
ko‘rinarli 
koordinatalar sistemasi uchun hisob amalga oshirilsa, u holda, bu 
yorug‘lik manbai kamera bilan bitta o‘qda joylashtirilganligini 
bildiradi. 
o‘qi bilan yoqning normali orasidagi burchak kosinusi 
radius-vektorining 
koordinatasini radius-vektor uzunligi nisbatiga 
teng. 

---

96 
| |
√ 
. 
Ikkinchi misol.
Yorug‘lik manbai cheksizlikda joylashgan va u 
o‘qida yotmaydi. Bu hol uchun yorug‘lik manbaiga yo‘nalish 
berish usuli muhim hisoblanadi. Agarda yorug‘lik manbai 
joylashuvini kameralardagi kabi – ikkita 
( 
)
burchakda 
ifodalansa, u holda, koordinatalarni shunday burish mumkinki, 
o‘qi yorug‘lik manbaiga yo‘naladi va birinchi misol uchun 
keltirilgan folmulani qo‘llash mumkin bo‘ladi. Boshqacha 
aytganda, normal vektor koordinatalarini almashtirish zarur. Bu 
yerda burishda vektor o‘zgarmasligidan foydalaniladi, shuning 
uchun 
ning koordinatasini burilgan koordinatalar sistemasida 
hisoblash yetarlidir. 
Agarda yorug‘lik manbaining joylashuvi yorug‘lik manbaiga 
yo‘naltirilgan vektor bilan ifodalansa, u holda, normal vektor bilan 
burchak kosinusini quyidagicha hisoblash mumkin. Avval yorug‘lik 
manbaiga yo‘nalgan radius-vektorni aniqlash zarur. Uni 
⃗
kabi 
belgilaymiz. Keyin, 
⃗
va 
⃗⃗⃗
radius-vektorlar orasidagi burchak 
kosinusini hisoblash uchun vektorlarni skalyar ko‘paytirish 
formulasidan foydalanamiz. 
Shunday qilib,
⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗| | ⃗⃗⃗|
hamda 
⃗ ⃗⃗⃗
quyidagini olamiz: 
| ⃗| | ⃗⃗⃗|
Ko‘rinib turibdiki, hisoblashlashlarni soddalashtirish uchun birlik 
uzunlikdagi 
⃗
vektordan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi, 
ya’ni
| ⃗|
. 
Uchinchi misol.
Yorug‘lik manbai fazoning 
( 
)
koordinatali chekli nuqtasiga joylashtiriladi. Normal bilan tashkil 
qilgan burchak kosinusini aniqlash uchun yorug‘lik manbai 
koordinatasi shunday ko‘chiriladiki, sirt nuqtasidagi normal vektor 
va yorug‘lik manbaiga yo‘naltirilgan vektor bitta umumiy 
markazdan chiqsin. Yuqorida uch burchakli yoqga normal radius-
vektorini koordinatlarni 
(
)
ga ko‘chirish (parallel 

---

97 
ko‘chirish) yo‘li orqali qurish ko‘rilgan edi. Yorug‘lik manbaiga 
yo‘nalgan va hisoblashlar uchun ishlatish mumkin bo‘lgan radius-
vektor 
( 
)
koordinatalarga ega. Keyin, 
qidirilayotgan burchak kosinusini, oldingi misoldagi kabi skalyar 
ko‘paytma orqali hisoblash mumkin.
Silliq qaytish.
Yorug‘lik manbaiga yo‘naltirilgan 
⃗
radius-
vektori berilgan hamda 
⃗⃗⃗
normal radius-vektori ham ma’lum deb 
hisoblaylik. Qaytuvchi nur va kamera yo‘nalishi orasidagi burchak 
kosinusini topish talab qilinadi. Avval qaytuvchi nur radius-
vektorini hisoblash zarur. 
Uni 
⃗⃗
deb belgilaymiz. 4.13-rasmda ko‘rsatilgani kabi qator 
geometrik yasashlar bajariladi. 
Yuqoridagi masalani yechish uchun avval 
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
va 
⃗⃗⃗⃗⃗
birlik 
vektorlarini ko‘ramiz. Tushuvchi va qaytuvchi nurlar normallari bir 
tekislikda yotishligidan 
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
ni yozish mumkin, bu yerda, 
⃗⃗⃗⃗⃗
romb diogonaliga mos va yo‘nalishi normal bilan ustma-ust 
tushuvchi vektordir. 
⃗⃗⃗⃗⃗
vektorning uzunligi 
ga teng. 
⃗⃗⃗⃗⃗
vektor yo‘nalishi 
⃗⃗⃗⃗⃗
bilan mos tushganligidan
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
yoki 
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
. 
4.13-rasm. Birlik uzunlikdagi 
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
. 
Bundan qaytuvchi nurning birlik vektorini topamiz: 

---

98 
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
| ⃗⃗⃗|
⃗
| ⃗|
ni topamiz. 
⃗⃗⃗
va 
⃗
vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan 
foydalanib buni amalga oshirish mumkin.
⃗⃗⃗ ⃗
| ⃗|| ⃗⃗⃗|
Bu topilgan qiymatni 
⃗⃗⃗⃗⃗
uchun ifodaga qo‘yamiz: 
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗
| ⃗⃗⃗|
| ⃗|
⃗
| ⃗|
Qidirilayotgan qaytuvchi nur vektori uzunligi tushuvchi nur 
vektori uzunligi bilan bir xil deb faraz qilsak, ya’ni 
⃗⃗ | ⃗| ⃗⃗
desak, quyidagini olamiz: 
⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗
| ⃗⃗⃗|
⃗
Bu vektor shaklidagi yechim. 
⃗⃗
vektorning koordinatalarini 
yozamiz. 
Endi kamera yo‘nalishi va qaytuvchi nur orasidagi burchak 
kosinusini topish qoldi. Kamera yo‘nalgan radius-vektorni 
⃗⃗⃗
bilan 
belgilaymiz. 
⃗⃗⃗
va 
⃗⃗
vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan 
foydalanib, izlanayotgan burchak kosinusini topamiz: 
⃗⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗⃗| | ⃗⃗|
√ 
√ 

---

99 
Ko‘rinib turibdiki, hisolashlarni soddalashtirish uchun 
⃗ ⃗⃗⃗
va 
⃗⃗⃗
vektorlarni birlik uzunlikda berish maqsadga muvofiq bo‘ladi 
(shunda 
⃗⃗
vektor ham birlik bo‘ladi).