3-боб. Рақамли тасвирлардан юз тазвирини характерловчи белгиларни ажратиш

Икки ўлчовли DFT (2D DFT) ни амалий татбиқ этиш. Биз матрицали операциялар ёрдамида икки ўлчовли DFTнинг ўзига хос хусусиятларини намойиш этамиз, бу жуда содда ва тўғридан-тўғри дастурий жиҳатдан юқори даражадаги тилларда ва кўплаб математик дастурий таъминот пакетларида амалга оширилади (масалан, MATLAB, MATCAD ва LABVIEW тўпламлари мисол).
2D DFT дастурининг асосий тафсилотлари матрица амаллари ва арифметикаси ёрдамида фақат ҳақиқий сонлар учун тақдим этилади. Бунинг учун 2D DFT ни қуйидаги матрица шаклида ёзинг:
(3.17).
Бу ерда — асл тасвирни юз билан ифодаловчи матрица; M×N, p×p, p×М ва N×p - мос келадиган матрицаларнинг ўлчамлари; — 2D DFT натижасини ифодаловчи матрица; п - натижа матрицасининг тартибини белгилайдиган параметр; ва - Фурье трансформацион матрицалари:

3.16. Расм. Спектрал компонентлар учун танлов имкониятлари

(3.17) ифодадаги трансформацион матрицалар ҳақиқий ва хаёлий қисмлардан иборат: и шунинг учун натижа матрицаси қуйидаги шаклда ёзилиши мумкин:

Бундан келиб чиқадики, ҳақиқий сонлар арифметикасидаги (3.16) муносабат натижа қуйидаги шаклга эга бўлади:

(3.18)

3.17. расм муносабатларга мувофиқ икки ўлчовли DFTни амалга ошириш диаграммасини кўрсатади (3.18). 2D DFT натижасининг мутлақ қиймати нисбати билан олинади

. (3.19)

Агар 2D DFTни амалга оширишда комплекс сонларнинг арифметикасидан фойдаланиш мумкин бўлса, у ҳолда комплексни ҳисоблаш

3.17. расм. 2D DFT реал арифметикасида амалга ошириш схемаси

трансформацион матрицалар и ва трансформациянинг ўзи ҳам шунга ўхшаш тар3Dа амалга оширилади.

Агар натижа матрицасининг барча элементларидан фойдаланилса, у ҳолда уларнинг сони бўлади. Спектр қийматлари натижа матрицасининг асосий диагонали йўналиши бўйича анча тез пасаяди. Шунинг учун, натижа матрицасидан (3.19) хусусиятларни яратишда, одатда натижа матрицасининг юқори чап бурчагидаги компонентлардан фойдаланилади. Оддий усул - бу натижа матрицасининг барча қўшимча диагоналларидан (1.1; 1.2; 2.1; 1.3; 2.2; 3.1 ва бошқалар, қўшимча диагонал элементларига қадар) элементларни кетма-кет танлаш ва уларни векторга ёзиш. MATLAB тўплами тилида ушбу алгоритмга мос келадиган дастур қуйида келтирилган:

Функсия [LINE, Q] = ZIGZAG_NEW (p, C)
% S - кириш матрицаси (2D DFT натижаси);
% p - қайта ишланган диагоналлар сони;
C матрицасининг % p ≥ тартиби;
% LINE - спектрал хусусиятлар вектори;
% Q - векторнинг катталиги, бу ерда
% ---------------------------------------------------
Хусусият векторидаги биринчи компонент, агар C матрица ушбу тасвирнинг 2D DFT натижасини аниқласа, асл тасвирнинг ўртача ёрқинлигини аниқлайди. Ушбу компонентнинг чиқариб ташланиши, хусусият векторини тасвирнинг ёрқинлигига эмас, балки структуранинг параметрларига (хусусан, юзнинг шакли ва параметрларига) "сезгир" қилиш имконини беради.
Кўпинча, рақамли сигнал ва тасвирни қайта ишлаш пакетларида (ва шунга мос равишда, FaReS вазифаларини амалга оширадиган рақамли сигнал процессорларида) DFT Fast Fourier Transform-FFT процедуралари асосида амалга оширилади [Dag83]. Бундай ҳолда, 2-даражали FFT трансформацияси натижасида ҳосил бўлган матрица асл тасвир ўлчамига тенг ҳажмга эга бўлади ва уни мураккаб шаклда ҳам кўрсатиш мумкин. Шунинг учун уни шакли ва ўлчамига етказиш керак бўлади (3.18).
DCT-дан фойдаланиш кос-трансформациянинг асосий функциялари рақамли тасвирларнинг умумий популяцияси (катта тўпламлари) учун ҳисобланган нисбий функцияларни яқинлаштириш учун энг яхши (минимал йўқотиш маъносида) эканлигига асосланади [Pre82]. Ушбу ҳақиқатни инобатга олган ҳолда, FaReS-да PCA/KLT рамкасида асл расмларнинг олдиндан қайта ишлашини бутунлай чиқариб ташлаш мумкин, уни оддийроқ cос-трансформацияга алмаштириш. Бундай ҳолда, кос-трансформация жуда оз сонли хусусиятларга эга юзлар билан оригинал тасвирларни - DCT-нинг спектрал таркибий қисмларини жуда аниқ ифодалайди. Иккинчиси, DCTнинг энергетик жиҳатдан муҳим спектрал компонентлари бу ҳолда матрицанинг юқори чап бурчагида - DCT натижасида тўпланганлигига асосланади. Юз соҳасини нисбатан аниқ реконструксия қилиш учун спектрнинг юқори чап бурчагидан танланган 20 дан ортиқ бўлмаган фазовий спектрал компонентлар ҳам етарли.
Дастлабки тасвирнинг DCT натижасининг спектрал қисмларидан хусусият векторини шакллантириш қуйидаги нисбатга асосланади:


,
(3.20)

Бу ерда C (p, r) - координаталари p ва r бўлган спектрал компонент; X (m, n) - координаталари m ва n бўлган асл тасвир пиксел; P, R - спектрал ойнанинг параметрлари; М, N - асл расмдаги қаторлар ва устунлар сони.

Агар биз p ва r координаталарини (3.20) муносабатидан матрицага - DCT натижасига туширсак, у ҳолда бу координаталар билан спектрал ойна юқори чап квадратда жойлашган бўлади. Ушбу квадратнинг юқори чап бурчагидан спектрал компонентларнинг барча қийматлари ҳосил бўлган хусусият векторига ёзилади, эҳтимол асл тасвирнинг ўртача ёрқинлигини аниқлайдиган C (0,0) компонентидан ташқари. C (0,0) компонентининг чиқариб ташланиши асл тасвирнинг ёрқинлигига эмас, балки юз соҳаси шакли ва параметрларига кўпроқ "сезгир" бўлган хусусият векторини олишга имкон беради. Барча хусусият векторини , скалерига қўшимча равишда нормализация қилиш орқали асл тасвир ўлчамининг унинг таркибий қисмларининг қийматларига таъсирини йўқ қилиш мумкин.
Биз спектрнинг муҳим хусусиятларидан бирига эътибор қаратамиз (3.20). Икки ўлчовли DCT асл тасвирда бошнинг чапга ва / ёки ўнгга ойнага симметрик айланишига нисбатан ўзгармас бўлган фазовий-спектрал хусусиятларни (спектрнинг мутлақ қиймати сифатида) олишга имкон беради. Бу 3.18. расмда а-d кўрсатилган натижа билан тасдиқланган.
3.18. расм а, c уларнинг биридан (бошланғич) кўзгу симметрияси (c) билан олинган юзнинг иккита расмини кўрсатади. 3.18. расм b бу иккита расм учун одатий имзоланган) 2D DCT спектрларига мос келадиган графикаларни кўрсатади.
а) Асл нусха расм


Ойнали носимметрик расм
3.18. расм. Ойнали тасвир тасвирлари учун 2D DCT спектрлари

Ва, графиклардан кўриниб турибдики, уларнинг қийматлари мос келмайди. 3.18. расм d бир хил тасвирлар учун 2D DCT спектрларининг мутлақ қийматига мос келадиган графикаларни кўрсатади. Графикдан кўриниб турибдики, уларнинг қийматлари тўлиқ мос келади. Шундай қилиб, DCT спектрининг 20 мутлақ қиймати кўзгу симметрик юз тасвирларига нисбатан ўзгармасдир. Шуни эътиборга олингки, юзни таниб олиш амалиётида кўзга ташланмайдиган инвариантлик ҳақиқати, ҳатто "унчалик аниқ бўлмаган" кўзгу симметрияси шароитида ҳам Y ўқи атрофида айланишлари жиҳатидан юзни яхшироқ аниқлашни таъминлай олади. Икки ўлчовли DCT (2D DCT) ни амалий амалга ошириш. Қуйидаги матрица шаклида 2D DCT ни аниқлаймиз:

, (3.21)

Бу ерда асл расм; P×P, P × M, M × N ва N × P - мос келадиган матрицаларнинг ўлчамлари; ва — бу ўзгарувчан матрицалар ва

Матрица Матрица

1 0
2
3.19. расм. Трансформацион матрицалар ЗD шаклида кўрсатилган

3.20.расм. 2D DCTни амалга ошириш учун матрица схемаси


и матрицаларнинг 3D шаклида кўриниши 3.19. расмда а, b. Матрицали шаклда (3.21) 2D DCTни амалга ошириш жараёни 3.20. расмда кўрсатилган.
Натижа матрицасида иккита майдон таъкидланганлигини унутманг: юқори чап бурчакда ва пастки ўнг бурчакда. DCT хусусияти вектори матрицасининг юқори чап бурчагидаги барча компонентлардан ҳосил бўлади [баъзида C (1,1) компонентдан ташқари). Бундай ҳолда, DCT функциялари вектори ) компонентини ўз ичига олади. Ушбу компонентлар амалга оширувчи 2D DCT қисмида тавсифланган усул ва зигзаг процедураси ёрдамида танланади.