3. 4-§. Биринчи тур сирт интегралининг таърифи

3.4-§. Биринчи тур сирт интегралининг таърифи
функция бирор икки томонли силлиқ ёки бўлакли силиқ сиртда берилган бўлсин . Бу сиртни бўлакли – силлиқ чизиқлар тўри ёрдамида бўлакларга ажратамиз. Бу бўлинишни бўлининш деб атаймиз. Бу бўлинишнинг дан ихтиёрий нуқтани олиб, бу нуқтадаги берилган функциянинг қийматига сиртнинг юзи ни кўпайтириб, қуйидаги йиғиндини тузамиз:
(17)
Бу йиғиндига функциянинг Риман интеграл йиғиндиси деб аталади. сиртнинг шундан
(18)
Бўлинишлар кетма кетлигини қарайликки, уларнинг мос диаметрларидан ташкил топган кетма – кетлик нолга интилсин:
Бундан бўлинишлар кетма – кетлигига мос келган функциянинг интеграл йиғиндилар кетма – кетлиги тузамиз:

1-таъриф. Агар сиртнинг ҳар қандай (18) кўринишдаги бўлинишлар кетма – кетлиги олинган ҳам унга мос келган интеграл йиғиндилар кетма – кетлиги нуқталарни танлаш қонунига боғлиқ бўлмаган ҳолда, ҳамма вақт битта лимитга интилса, у ҳолда бу лимит интеграл йиғиндининг лимити деб аталади ва у

каби белгиланади.
2-таъриф. Агар да функциянинг интеграл йиғиндиси чекли лимитга эга бўлса, у ҳолда функция сирт бўйича интегралланувчи функция деб аталади. Бу йиғиндининг чекли лимити га функциянинг биринчи тур сирт интеграли дейилади ва у
(19)
каби белгиланади.
3.5-§. Биринчи сирт интегралининг мавжудлик шарти ва уни ҳисоблаш
сиртўзининг (3) кўринишдагипараметриктенгламасибиланбрилганбўлиб, -соддасилиқсиртбўлсин, яъни функциялар соҳада узлуксизваузлуксизхусусийҳосилаларгаэгабўлибмахсуснуқталаргаэгабўлмасин.
1– теорема. Агар функция тенгламаси (3) куришда берилган силлиқ сиртда узлуксиз бўлса, у ҳолда (19) интеграл мавжуд бўлади ва ушбу
(20)
тенглик ўринли бўлади.
Исбот. сиртнингихтиёрий бўлинишини: қараймиз; сиртнингбубўлинишига соҳанинг (….қаранг) бўлинишимоскелади. Бубўлишнингҳарбир бўлагиданихтиёрий нуқтани данунгамоскелган нуқтаниоламиз; бунда
(21)
(19) интеграл учун интеграл йиғиндини тузамиз.

(14¹) формулага асосан, . Бу интегралга ўрта қиймат ҳақидаги теоремани қўллаб

топамиз, бунда (21) ни ва нинг бу қийматини эътиборга олиб, юқоридаги интеграл йиғиндини қуйидагича ёзамиз.
.
Интеграл йиғиндининг бу кўринишига қараб, (20) нинг ўнг томонидаги интеграл учун интеграл йиғиндининг кўриниши

бўлишини англаш қийин эмас, билан йиғинди орасидаги фарқ қуйидагича: да мураккаб функция ва лар ихтиёрий нуқтада, йиғиндида эса функция нуқта илдиз эса (ўрта қиймат ҳақидаги теремани қўллагандаги нуқта) нуқтада ҳисобланган. Энди бу йиғинларнинг айирмасини қараймиз:
.
- ихтиёрий кичик сон бўлсин. функциянинг текис узлуксизлигидан соҳаларнинг исталганча кичик диаметрлари, яъни учун

бўлади, функциянинг узлуксизлигидан

бўлади. Демак, бундан

Шу билан теорема исбот бўлади.
Агар сирт тенгламаси ошкор шаклда берилган бўлса, у ҳолда (20) фурмуланинг кўриниши
(22)
шаклида бўлади, бунда сиртнинг текисликдаги проекция
.
( сиртга ўтказилган нормалнинг ўқи билан ташкил қилган бурчаги) бўлишини эътиборга олиб, (22) формулани
(23)
кўринишда ёзиш мумкин. Шунга ўхшаш, силиқ сирт тенглама билан берилганда (бу ерда сиртнинг текисликдаги проекцияси), сирт дифференциали кўринишда ёзилади. Шунинг учун сирт интегралини қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
(24)
ёки
(24¹)
(бу ерда сиртга ўтказилган нормал векторнинг ўқи билан ташкил бурчаги, яъни ) сирт тенгламаси тенглама Билан берилганда, сирт дифференциали

кўринишда ёзилади ва
(25)
ёки
(25¹)
формула ўринли бўлади (бу ерда сиртининг текисликдаги проекцияси, )
Эслатма. (20), (22), (24) ва (25) формулалар бўлакли сиртлар учун ҳам ўринли.