3. 4-§. Биринчи тур сирт интегралининг таърифи

Стокс формуласи
силиқсиртўзинингошкор тенгламасибиланберилганбўлиб, унингчегараси бўлаклисиллиқконтурданиборатбўлсин. сиртнинг текисликдагипроекцияси бўлиб, эгричизиқнингпрекциясиэса, бўлакли – силлиқконтурданиборатбўлсин.
сиртдаузлуксизваузлуксиз хусусийҳосилаларэгабўлган функцияберилганбўлсин. сиртнингташқитомонинибелгилаймиз (6 – чизма) . Юқоридаги сиртгақўйилганшартлардақуйидагитеоремаўринлибўлади.
3- теорема. Агар функция даузлуксизваузлуксизбиринчитартиблихусусийҳосилаларгаэгабўлса, уҳолдақуйидагиформулаўринлибўлади:
(46)
Исбот. Шартга кўра эгричизиқли интеграл мавжуд. Аввало эгричизиқ бўйича олинган эгричизиқли интегрални нинг текисликдаги проекцияси эгричизиқ бўйича олинган эгричизиқли интегралга айлантирамиз:
. (47)
(47) тенгликнинг тўғрилигини кўрсатиш учун эгричизиқнинг параметрик тенгламаси:

дан фойдаланамиз: эгричизиқ тенгламасига кўра эгричизиқ тенгламаси кўринишда бўлади. У ҳолда икала интеграл ҳам бир хил бўйича олинган оддий

интегралга келтирилади. Энди (47) интегралнинг ўнг томонига Грин формуласини қўллаймиз:
. (48)
Кейинги тенгликнинг ўнг томонидаги интеграл остидаги ифоданинг тўлиқ кенгайтирилган кўринишини ёзамиз:
хато
(6) формулани эътиборга олган ҳолда

ни ҳосил қиламиз. У ҳолда (48) нинг ўнг томонидаги интеграл

кўринишга келади. Бу интегрални (45) формула ёрдамида сиртнинг белгиланган томони бўйича сирт интегралига келтирамиз:

шу билан теорема исбот бўлади.
Худди шундай сиртда берилган функциялар тегишли шартларни қаноатлантирганда ушбу
, (49)
(50)
формулаларнинг ўринли эканлигини кўрсатиш мумкин. (47), (49) ва (50) формулалар ҳадлаб қўшиш натижасида
(51)
формулани ҳосил қиламиз. Одатда (51) формула Стокс формуласи деб аталади.
Шундай қилиб, Стокс формуласи фазовий ёпиқ эгри чизиқ бўйича олинган эгричизиқли интегрални шу контур билан чегараланган сирт бўйича олинган сирт интегралини боғловчи формула бўлиб ҳисобланар экан. (51) формулани биринчи тур сирт интеграли орқали ҳам ёзиш мумкин:
(52)
(52) формулани ҳам Стокс формуласи дейилади.
Эслатма. Грик формуласи, Стокс формуласининг хусусий ҳолидир. Ҳақиқатан ҳам (51) формулада сирт сифатида текислигидаги соҳа олинса, унда бўлиб, (51) формуладан

Грин формуласи келиб чиқади.